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Spektraltheorie des Laplaceoperators.

SoSe 2019

Synopsis:

Das Thema der Vorlesung sind Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami Operators auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Das Hauptziel ist der Beweis der scharfen Weyl-Formel , welche die asymptotische Verteilung der Eigenwerte beschreibt. Unter zusätzlichen natürlichen Bedingungen an den Geodätenfluss werden wir im Anschluss eine verbesserte Version von Duistermaat und Guillemin beweisen.

Zielgruppe:

Master Mathematik (WP 17.2, 18.1, 18.2, 44.3, 45.2, 45.3), TMP-Master.

Voraussetzungen:

Analysis I-III, Funktionalanalysis, PDG 1.

Vorlesungszeiten:

Mo 16-18, B045.

Literatur:

Die Vorlesung folgt dem folgenden Buch von C.D. Sogge:

• Sogge, Christopher D. Hangzhou Lectures on Eigenfunctions of the Laplacian (AM-188) (Annals of Mathematics Studies Book 212). (Elektronischer Zugang hier .)
• Siehe auch: Hassell, A. AMS book review .

Weiterführende Literatur:

Riemannsche Geometrie

• Jost, Jürgen Riemannian geometry and geometric analysis. Seventh edition. Universitext. Springer, Cham, 2017. (Elektronischer Zugang hier .)
• Lee, John M. Introduction to Riemannian manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer, Cham, 2018. (Elektronischer Zugang hier .)

Spektraltheorie auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten

• Grieser, Daniel. Der Laplace-Operator auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
• Chavel, Isaac. Eigenvalues in Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, 115. Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1984. (Elektronischer Zugang hier .)

Distributionentheorie

• Hörmander, Lars. The analysis of linear partial differential operators. I. Distribution theory and Fourier analysis. Second edition. Springer Study Edition. Springer-Verlag, Berlin, 1990.

Wellengleichung

• Sogge, Christopher D. Lectures on non-linear wave equations. Second edition. International Press, Boston, MA, 2008.

Hadamard Parametrix

• Hadamard, Jacques Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations. Dover Publications, New York, 1953. iv+316 pp.
• Hörmander, Lars The analysis of linear partial differential operators. III. Pseudo-differential operators. Reprint of the 1994 edition. Classics in Mathematics. Springer, Berlin, 2007.
• Riesz, Marcel L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy. (French) Acta Math. 81, (1949). 1-223.

Eigenfunktionen, Spektral-Asymptotik und semiklassische Analysis

• Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo. Semi-classical analysis. International Press, Boston, MA, 2013.
• Ivrii, Victor. Microlocal Analysis, Sharp Spectral Asymptotics and Applications.
• Robert, Didier. Autour de l'approximation semi-classique. (French) [On semiclassical approximation] Progress in Mathematics, 68. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1987.
• Dimassi, Mouez; Sjöstrand, Johannes. Spectral asymptotics in the semi-classical limit. (English summary) London Mathematical Society Lecture Note Series, 268. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
• Safarov, Yu.; Vassiliev, D. The asymptotic distribution of eigenvalues of partial differential operators. (English summary) Translated from the Russian manuscript by the authors. Translations of Mathematical Monographs, 155. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.
• Zelditch, Steve. Eigenfunctions of the Laplacian on a Riemannian manifold. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 125. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 2017.
• Zelditch, Steve. Park City lectures on eigenfuntions. [Corrected title: Park City lectures on eigenfunctions] Geometric analysis, 111-193, IAS/Park City Math. Ser., 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2016.
• Zworski, Maciej Semiclassical analysis. Graduate Studies in Mathematics, 138. American Mathematical Society, Providence, RI, 2012.

Übungen:

Finden jede zweite Woche am Do 16-18 im B134 statt.

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