Department Mathematik
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Forschungsgruppe TQA
Grundlagenforschung: Topologische Feldtheorie / Quanteninformation

Die Topologische Feldtheorie (auch Topologische Quantenfeldtheorie) ist ein Gebiet der Mathematischen Physik, in der Modelle der Quantenfeldtheorie untersucht werden, die im Wesentlichen (nur) von der Topologie einer Mannigfaltigkeit (der Raumzeit) abhängt.

Eine Topologische Feldtheorie im engeren Sinne wird durch einen Funktor Z: C --> V gegeben, wobei C eine 'geometrische' Kategorie und V eine 'lineare' Kategorie ist. Beispielsweise ist C die Kategorie der geschlossenen orientierten 2-Mannigfaltigkeiten mit Kobordismen (also orientierte, kompakte 3-Mannigfaltigkeit mit Rand) als Morphismen, und V ist die Kategorie der endlichdimensionalen komplexen Vektorräume mit den linearen Abbildungen als Morphismen. Der Funktor Z hat noch einige Bedingungen zu erfüllen, z.B. ist er monoidal und er genügt verschiedenen Verträglichkeitsbedingungen wie auch Normierungen, z. B.
Z(S2) = C.
Für eine orientierte 3-Mannigfaltigkeit M in unserem Beispiel, die einen Kobordismus von S nach T repräsentiert, ist dann Z(M) eine lineare Abbildung von Z(S) nach Z(T); also im Falle, dass S und T leer sind, eine komplexe Zahl Z(M).
Insbesondere liefert solch eine Topologische Feldtheorie also topologische Invarianten für geschlossene orientierte 3-Mannigfaltigkeiten.

Ein Zusammenhang zur Quanteninformation ergibt sich über die Anyonenmodelle, das sind aus mathematischer Sicht Fusionsalgebren, die ein mögliches Modell für die Konstruktion eines Quantencomputers liefern. (siehe auch Knoten zur Realisierung des Quantencomputers).

Das Konzept des Quantencomputers ist seit langem bekannt: Die Grundregeln der Quantenmechanik legen aus rein theoretischen Überlegungen nahe, dass im Prinzip ein ein solcher Quantencomputer existieren sollte und dass er um ein Vielfaches schneller ist als die herkömmlichen Rechner. Zugleich stößt das Konzept des herkömmlichen Computers an seine Grenzen: Die Ständige Verkleinerung der Chips zur Vergrößerung der Rechenleistung führt dazu, dass quantenmechanische Effekte auftreten und dass die Energien vergleichsweise zu groß werden, um noch leistungsfähigere Chips zu konstruieren.
Die Lösung ist der Quantencomputer.

Es ist aber bisher kein Konzept bekannt, den theoretisch gut begründeten Quantencomputer in der Praxis zu konstruieren. Verschiedene Modelle zur Realisierung des Quantencomputers sind erfunden worden, aber kein Ingenieur hat bislang einen effizienten Quantenrechner bauen können.

Vorarbeiten:


Wissenschaftliche Vorarbeiten durch Veranstaltungen
Wissenschaftliche Vorarbeiten durch Abschlussarbeiten