MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. W. Spann, G. Kleen WS 2022/2023

Programmieren II für Studierende der Mathematik

Aufgabe 2 Erstellen Sie ein Programm, das zu einer Funktion f ∈ C[−1, 1] die diskrete Tschebyscheff-Entwicklung

∑_{k=0}^{n} c_{k}T_{k}, T_{k}(x) = cos(k arccos x)

mit

c_{0} = \frac{1}{n + 1} ∑_{j=0}^{n} f (cos (\frac{2j + 1}{2(n + 1)}π))
c_{k} = \frac{2}{n + 1} ∑_{j=0}^{n} f (cos (\frac{2j + 1}{2(n + 1)}π)) · cos (\frac{2j + 1}{2(n + 1)}kπ)  (k = 1, …, n)

berechnet. Die Auswertung dieser Entwicklung an einer Stelle x ∈ [−1, 1] soll über die folgende Rekursionsformel erfolgen:

\begin{aligned}s_{0} & = & c_{n} \\ s_{1} & = & c_{n} · x + c_{n−1} \\ s_{k} & = & 2 · x · s_{k−1} − s_{k−2} − c_{n−k+1} · x + c_{n−k} (k = 2, …, n) \end{aligned}

Geben Sie jeweils k und c_{k} aus, sofern |c_{k}| ≥ ε, und zusätzlich den maximalen Betrag der Differenz zwischen f und ∑_{k=0}^{n} c_{k}T_{k} an den N + 1 Stützstellen x_{i} = −1 + ih (i = 0, …, N) mit h = 2/N. Rechnen Sie mit ε = 10^{−12} und N = 2000 folgende Beispiele:

(a) f(x) = x^{3} − 3x^{2} + 2x − 5, n = 3 (b) f(x) = 2 + x cos x, n = 30

(c) f(x) = e^{−4x^{2}} sin 4x, n = 50

Bearbeitungszeitraum: bis Donnerstag, 24.11.2022, 16^{00}