MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. W. Spann, G. Kleen SS 2023

Programmieren I für Studierende der Mathematik

Aufgabe 3

(a) Der Umfang U einer Ellipse mit den Halbachsen a_{0} ≥ b_{0} > 0 kann durch die folgende Variante des Verfahrens zur Bestimmung des arithmetisch-geometrischen Mittels bestimmt werden:

Die durch

a_{n+1} := \frac{a_{n} + b_{n}}{2} , b_{n+1} := \sqrt{a_{n}b_{n}} (n ∈ ℕ_{0})

rekursiv definierten Folgen (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} , (b_{n})_{n∈ℕ_{0}} konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert (”arithmetisch-geometrisches Mittel von a_{0} und b_{0}“) und es gilt

U = \frac{2π(a_{0}^{2} − ∑_{n=0}^{∞} 2^{n−1}(a_{n}^{2} − b_{n}^{2}))}{lim_{n→∞} a_{n}}.

Programmieren Sie dieses Verfahren. Brechen Sie dabei die Berechnung der unendlichen Reihe und des Grenzwerts ab, wenn 2^{n−1}(a_{n}^{2} − b_{n}^{2}) < ε · a_{0}^{2} gilt (ε: Maschinengenauigkeit). Berechnen Sie zur Vermeidung der Auslöschung die Größe c_{n} = a_{n}^{2} −b_{n}^{2} über die Rekursion

c_{n} = \frac{c_{n−1}^{2}}{16a_{n}^{2}} (n ∈ ℕ).

(b) Programmieren Sie zum Vergleich die langsamer konvergierende Potenzreihenmethode zur Bestimmung des Ellipsenumfangs

U = 2πa_{0} (1 − (\frac{1}{2})^{2} \frac{e^{2}}{1} − (\frac{1 · 3}{2 · 4})^{2} \frac{e^{4}}{3} − (\frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6})^{2} \frac{e^{6}}{5} − …) mit e = \sqrt{1 − \frac{b_{0}^{2}}{a_{0}^{2}}}

Leiten Sie dazu geeignete Rekursionsbeziehungen her (bitte gesondert aufschreiben oder als Kommentar in das Programm schreiben!) und brechen Sie mit einem sinnvollen Abbruchkriterium die Berechnung der Potenzreihe ab.

Formulieren Sie beide Verfahren als Funktionen. Lesen Sie a_{0}, b_{0} im Hauptprogramm ein und berechnen Sie den Ellipsenumfang mit beiden Funktionen. Geben Sie a_{0}, b_{0} im Festpunktformat mit 4 Nachkommastellen und die berechneten Umfangswerte jeweils im Exponentialformat mit 15 Nachkommastellen aus.

Rechnen Sie neben zwei eigenen Testbeispielen auch die Beispiele

\begin{matrix}a_{0} = 2 & b_{0} = 2, \\ a_{0} = 5 & b_{0} = 3, \\ a_{0} = 10 & b_{0} = 9.99999. \end{matrix}

Bearbeitungszeitraum: bis Freitag, 26.5.2023, 12^{00}