MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. W. Spann, G. Kleen SS 2023

Programmieren I für Studierende der Mathematik

Aufgabe 2

Die Fläche des Einheitskreises kann durch die Flächen A_{n} und B_{n} des einbeschriebenen bzw. umbeschriebenen regulären 2^{n}–Ecks (n = 2, 3, 4, …) eingeschlossen werden. Die Seitenlänge s_{n} des einbeschriebenen regulären 2^{n}–Ecks kann durch die folgende Rekursionsformel bestimmt werden

s_{2} = \sqrt{2}, s_{n+1} = \sqrt{2 − \sqrt{4 − s_{n}^{2}}}.

Daraus ergeben sich die Flächen

A_{n} = 2^{n−1}s_{n}\sqrt{1 − \frac{s_{n}^{2}}{4}} und B_{n} = \frac{2^{n−1}s_{n}}{\sqrt{1 − \frac{s_{n}^{2}}{4}}} .

Berechnen Sie für n = 2, 3, … Näherungen an π und geben Sie diese in einer Tabelle aus (siehe unten). Brechen Sie dabei die Iteration ab, wenn s_{n}^{2}/4 kleiner als die ”Maschinengenauigkeit“ des verwendeten Gleitpunktdatentyps ist.

Bei der Berechnung von 2^{n} soll die Funktion ldexp und nicht die Funktion pow zum Einsatz kommen. (Anmerkung: ldexp(x,n) liefert x · 2^{n} .)

Führen Sie das obige Verfahren auch mit der mathematisch äquivalenten, aber numerisch stabileren Rekursionsformel

s_{n+1} = \frac{s_{n}}{\sqrt{2 + \sqrt{4 − s_{n}^{2}}}}

durch.

Drucken Sie tabellarisch für beide Methoden n, die Eckenzahl, die Seitenlänge s_{n} im Exponentialformat und die berechneten Flächen in einem der Genauigkeit gut angepassten Festpunktformat (n = 2, 3, …).

Achten Sie bei der Programmierung auf möglichst hohe Portabilität.

Bearbeitungszeitraum: bis Freitag, 19.5.2023, 12^{00}