Analysis II für Statistik: Themenübersicht der Vorlesungen
17. April, 1. Vorlesung
Euklidischer Raum K^n (Addition, Skalarmultiplikation, Skalarprodukt, (euklidische) Norm, (euklidischer) Abstand, Ungleichnungen, Intervalle). Konvergenz und Cauchyfolgen im K^n. Satz: Folge ist genau dann in K^n konvergent bzw. Cauchy, wenn all ihre Koordinatenfolgen in K (also in den reellen bzw. in den komplexen Zahlen) konvergent bzw. Cauchy sind.24. April, 2. Vorlesung
Definition beschränkter Folgen im K^n. Satz: Teilfolgen und Umordnungen konvergenter Folgen im K^n konvergieren, konvergente Folgen sind beschränkt. Der Limes ist eindeutig. Grenzwertsätze im K^n. Satz: Folge in K^n ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchy ist. Satz von Bolzano-Weierstraß. Definition Norm, normierter Raum. Satz: Normen erfüllen die umgekehrte Dreiecksungleichung. Beispiele für Normen (z. B. Supremumsnorm auf der Menge der beschränkten reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einer Menge S). Offene und abgeschlossene Kugel, Sphäre, innerer Punkt, Randpunkt, Häufungspunkt, isolierter Punkt einer Menge. Das Innere, der Rand und der Abschluss einer Menge. Offene und abgeschlossene Mengen. Offene Kugeln sind offen, abgeschlossene Kugeln sind abgeschlossen. Die leere Menge und der ganze Raum sind offen und abgeschlossen. Punkte sind abgeschlossen.1. Mai
Keine Vorlesung wegen des Feiertags.8. Mai, 3. Vorlesung
Beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen. Beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Definition des Durchmessers und der Beschränktheit einer Menge. Satz: Endliche Mengen und endliche Vereinigungen von beschränkten Mengen sind beschränkt. Definition für Folgen in normierten Räumen: Beschränktheit, Konvergenz, Divergenz, Cauchyfolge, Häufungspunkt. Satz: Grenzwerte sind eindeutig, konvergente Folgen sind beschränkt; Teilfolgen und Umordnungen konvergenter Folgen konvergieren gegen den selben Grenzwert wie die Ausgangsfolge; ein Punkt x ist genau dann Häufungspunkt einer Folge, wenn die Folge eine Teilfolge besitzt, die gegen x konvergiert; konvergente Folgen sind Cauchyfolgen. Beispiel einer nicht-konvergenten Cauchyfolge. Satz zur Stetigkeit der Norm. Definition des Banachraumes.15. Mai, 4. Vorlesung
Definition des Grenzwertes für Funktionen zwischen normierten Räumen. Definition der Stetigkeit für Funktionen zwischen normierten Räumen. Satz zum Folgenkriterium für Funktionengrenzwerte und Stetigkeit. Satz: Konstante Funktionen sind stetig, Projektionen auf die Koordinaten sind stetig, Funktionen nach R^n oder C^n sind genau dann stetig, wenn alle Koordinatenfunktionen stetig sind und dies ist genau dann der Fall, wenn die Real- und Imaginärteile aller Koordinatenfunktionen stetig sind. Sind zwei Funktionen stetig, so ist auch die Summe, das Produkt, der Quotient (wo der Nenner nicht verschwindet), das Maximum und das Minimum stetig. Ist eine Funktion stetig, so sind auch skalare Vielfache, der Realteil, der Imaginärteil, das komplex-Konjugierte, der positive und negative Anteil sowie der Absolutbetrag stetig. Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig. Lineare Funktionen von K^n nach K^m sind stetig. Definition von Multiindizes sowie von Monomen und Polynomen, die von n Variablen abhängen. Definition von rationalen Funktionen von n Variablen. Polynome sind stetig, rationale Funktionen sind stetig in Punkten, wo das Nennerpolynom nicht verschwindet. Die Determinante und das Invertieren von Matrizen sind stetige Abbdildungen.22. Mai, 5. Vorlesung
Beispiele unstetiger linearer Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen. Komponentenweise Stetigkeit. Stetigkeit impliziert komponentenweise Stetigkeit. Beispiel: Komponentenweise Stetigkeit impliziert nicht Stetigkeit. Definition des Skalarprodukts. Elementare Eigenschaften des Skalarprodukts. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Definition der induzierten Norm eines Skalarproduktes. Definition von Prähilbertraum und Hilbertraum. Beispiel: Das euklidische Skalarprodukt auf K^n erfüllt tatsächlich die Eingenschaften eines Skalarproduktes, erzeugt die euklidische Norm und macht K^n zum Hilbertraum. Unendlichnorm auf K^n und p-Norm auf K^n für p>=1. Definition der Äquivalenz von Normen. Satz: Zwei Normen sind genau dann äquivalent, wenn Folgen bezüglich der einen Norm genau dann konvergieren, wenn sie bezüglich der anderen Norm konvergieren. Satz: Alle Normen auf K^n sind äquivalent.29. Mai, 6. Vorlesung
Beispiel für nichtäquivalente Normen auf einem Folgenraum. Definition der partiellen Ableitung und des Gradienten. Beispiel: Die Existenz aller partiellen Ableitungen von f impliziert NICHT die Stetigkeit von f. Definition von Jacobimatrix und Jacobideterminante. Beispiel: Ist eine lineare Abbildung durch die Matrix A gegeben, so ist A auch die Jacobimatrix der Abbildung. Satz: Das Bilden von partiellen Ableitungen, Gradienten und Jacobimatrizen ist linear. Definition partieller Ableitungen höherer Ordnung. Beispiel: Im Allgemeinen darf man die Anwendung verschiedener partieller Ableitungen nicht vertauschen. Vertauschungssatz von Schwarz für zwei stetige partielle Ableitungen. Definition von C^k-Funktionen und -Räumen, von C^unendlich-Funktionen und -Raum.5. Juni, 7. Vorlesung
Definition der totalen Ableitung und Differenzierbarkeit sowie Lemma zur äquivalenten Umformulierung. Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit und die Existenz aller partiellen Ableitungen. Die totale Ableitung skalarwertiger Funktionen ist durch den Gradienten gegeben. Die totale Ableitung Ableitung vektorwertiger Funktionen ist durch die Jacobimatrix gegeben. Beispiele: Totale Ableitungen konstanter, linearer und eindimensionaler Funktionen. Bilden der totalen Ableitung ist linear. Die Existenz aller partiellen Ableitungen von f in einer offenen Menge und deren STETIGKEIT in einem Punkt der Menge impliziert die Differenzierbarkeit von f in diesem Punkt. Satz: Mehrdimensionale Kettenregel.12. Juni, 8. Vorlesung
Definition differenzierbarer Wege und differenzierbar wegzusammenhängender Mengen. Satz: Differenzierbare Funktionen auf differenzierbar wegzusammenhängenden Mengen mit verschwindendem Gradienten sind konstant. Definition von Richtungsableitungen. Zusammenhang zwischen Richtungsableitungen und partiellen Ableitungen. Satz: Differenzierbarkeit impliziert die Existenz aller Richtungsableitungen, welche sich dann als Skalarprodukt aus dem Gradient und der Richtung berechnen lassen. Satz: Der lokal größte Anstieg einer differenzierbaren reellwertigen Funktion erfolgt in Richtung des Gradienten. Beispiel, dass die Existenz aller Richtungsableitungen NICHT die Stetigkeit und schon gar nicht die Differenzierbarkeit impliziert. Definition globaler und lokaler Extrema ((strenge) Minima und Maxima). Definition kompakter Mengen. Satz: Kompakte Mengen sind abgeschlossen und beschränkt; abgeschlossene Teilmengen kompakter Mengen sind kompakt. Satz: Teilmengen des K^n sind genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind, aber im Allgemeinen gilt dies nicht. Satz: Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Satz: Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen nehmen ihr Maximum und Minimum an.19. Juni, 9. Vorlesung
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Last update: Jun 12, 2026 Peter Philip.