Analysis (Informatik und Statistik): Themenübersicht der Vorlesungen
13. Oktober, 1. Vorlesung
Aussagen, Wahrheitswerte, Wahrheitstafeln und logische Operatoren (speziell: Negation, Konjunktion (logisches Und), Disjunktion (logisches Oder), Implikation, Äquivalenz). Beispiele für logisch verknüpfte Aussagen. Bestimmung von Wahrheitswerten. Satz vom ausgeschlossenen Dritten, Tautologien.16. Oktober, 2. Vorlesung
Regeln der Aussagenlogik: Kommutativität und Assoziativität von Konjunktion und Disjunktion, Distributivgesetze, Gesetze von De Morgan, Kontraposition. Transitivität von Implikation und Äquivalenz. Definition des Beweises. Definition der Menge nach Cantor, Elemente von Mengen, Gleichheit von Mengen, leere Menge. Definition von Teilmenge (Inklusion), Obermenge. Durchschnitt, Vereinigung, Differenz von Mengen, Komplement. Disjunktheit und disjunkte Vereinigung. Potenzmenge. Menge der natürlichen Zahlen. Regeln der Mengenlehre: Kommutativität und Assoziativität von Durchschnitt und Vereinigung, Distributivgesetze, Gesetze von De Morgan.20. Oktober
Keine Vorlesung wegen der LMU-Erstsemesterbegrüßung.23. Oktober, 3. Vorlesung
Universeller und existentieller Quantor. Universelle und existentielle Aussagen, Prädikate, eindeutige Existenz, Negation von universellen und existentiellen Aussagen (verallgemeinerte De Morgansche Gesetze). Gleiche benachbarte Quantoren darf man vertauschen, jedoch verschiedene benachbarte Quantoren im Allgemeinen nicht. Der "Quantor" der eindeutigen Existenz vertauscht im Allgemeinen weder mit dem Existenzquantor noch mit sich selbst. Beweisstrategien: Zum Beweis einer universellen Aussage reichen Beispiele NICHT, aber zum Beweis einer existentiellen Aussage reicht EIN Beispiel, zum Beweis, dass eine universelle Aussage falsch ist, reicht EIN Gegenbeispiel. Vereinigung und Durchschnitt beliebig vieler Mengen und Regeln dazu. Definition des geordneten Paares und des kartesischen Produktes. Definition der Funktion (insbesondere: Definitionsbereich, Wertebereich, Zuordnungsvorschrift, Bild, Urbild, Graph).27. Oktober, 4. Vorlesung
Definition von injektiv, surjektiv, bijektiv. Beispiele für Funktionen, Bild, Urbild, injektiv, surjektiv, bijektiv. Definition von Identität, konstanter Abbildung. Definition von Inklusion/Einbettung, Einschränkung, Fortsetzung. Komposition/Hintereinanderausführung. Assoziativgesetz für Kompositionen, Urbildbildung für Kompositionen. Rechtsinverse, linksinverse, inverse Abbildung (Umkehrabbildung). Satz: Rechtsinvertierbar ist äquivalent zu surjektiv, linksinvertierbar ist äquivalent zu injektiv, invertierbar ist äquivalent zu bijektiv. Im bijektiven Fall sind die rechts- und linksinverse Abbildung eindeutig und gleich der inversen Abbildung. Kompositionen injektiver Abbildungen sind injektiv, Kompositionen surjektiver Abbildungen sind surjektiv, Kompositionen bijektiver Abbildungen sind bijektiv und es gilt, dass die Umkehrabbildung der Komposition g nach f die selbe Abbildung ist wie die Umkehrabbildung von f nach der Umkehrabbildung von g. Definition der Familie. Definition der Folge.30. Oktober, 5. Vorlesung
Definition des kartesischen Produktes einer Familie von Mengen (speziell: Menge der geordneten n-Tupel (n=3: Tripel)). Definition der charakteristischen Funktion einer Menge. Satz: Jedem Element der Potenzmenge wird bijektiv seine charakteristische Funktion zugeordnet (und dies rechtfertigt die Notation 2^A für die Potenzmenge von A). Definition von Relationen als Teilmengen des kartesischen Produktes AxB. Beispiele für Relationen: Gleichheitsrelation, die Relation Kleinergleich, Funktionen als Relationen, Relationen als Funktionen in die Potenzmenge von B. Eigenschaften von Relationen: reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv. Definition der Äquivalenzrelation. Zu jeder Äquivalenzrelation auf einer Menge korrespondiert eine disjunkte Zerlegung der Menge und umgekehrt. Definition von Partialordnung, totaler Ordnung und strenger Ordnung. Definition von unterer Schranke, oberer Schranke, Minimum, Maximum, Infimum, Supremum.3. November, 6. Vorlesung
Satz: Minimum, Maximum, Infimum und Supremum sind alle eindeutig, sofern sie überhaupt existieren. Definition von (streng) isotonen/wachsenden/ordnungserhaltenden Funktionen, von (streng) antitonen/fallenden/ordnungsumkehrenden Funktionen sowie von (streng) monotonen Funktionen. Streng monotone Funktionen auf total geordneten Mengen sind injektiv. Ist f eine invertierbare und isotone (bzw. antitone) Funktion auf einer total geordneten Menge, so ist auch die Umkehrfunktion isoton (bzw. antiton). Beispiele für (streng) isotone und antitone Funktionen sowie eine nichtmonotone Funktion. Peanoaxiome, Prinzip der vollständigen Induktion: Beweis von Induktionsverankerung und Induktionsschritt beweist eine Aussage für alle natürlichen Zahlen. Endliche Induktion.6. November, 7. Vorlesung
Rekursive Definition. Rekursionssatz: Existenz- und Eindeutigkeit von rekursiv definierten Funktionen. Beispiel: Fakultätsfunktion. Arithmetische Folge. Geometrische Folge, Fibonaccizahlen, Summationssymbol. Produktsymbol. Arithmetische Summen. Geometrische Summen. Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen. Definition von endlich, unendlich, abzählbar. Kardinalität von endlichen Mengen. Eine Funktion zwischen zwei endlichen Mengen mit gleich viel Elementen ist injektiv genau dann, wenn sie surjektiv ist, genau dann, wenn sie bijektiv ist. Teilmengen endlicher Mengen sind endlich. Ist B Teilmenge der endlichen Menge A, so ist #(A\B)=#A-#B. Sind A,B endlich, so ist die Zahl der Elemente in A vereinigt B die Summe der Elemente in A und B minus die Elemente im Schnitt von A und B. Die Kardinalität des kartesischen Produktes von endlich vielen endlichen Mengen ist das Produkt der Kardinalitäten der Mengen. Hat die endliche Menge A genau n Elemente, so hat die Potenzmenge von A genau 2 hoch n Elemente.10. November, 8. Vorlesung
Logische Begründung des Widerspruchsbeweises. Es gibt keine surjektive Abbildung von einer Menge in ihre Potenzmenge. Jede nichtleere und endliche Teilmenge einer total geordneten Menge besitzt ein Maximum und ein Minimum. Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum. Jede Teilmenge der natürlichen Zahlen ist abzählbar. Eine nichtleere Menge ist genau dann abzählbar, wenn es eine injektive Abbildung von der Menge in die natürlichen Zahlen gibt und dies gilt genau dann, wenn es eine surjektive Abbildung von den natürlichen Zahlen in die Menge gibt. Das kartesische Produkt von endlich vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar. Die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar. Definition der Vollständigkeit einer totalen Ordnung. Definiton der Gruppe und der kommutativen (abelschen) Gruppe. Definition des Körpers, des total geordneten Körpers und des vollständig total geordneten Körpers. Satz: Es gibt einen vollständig angeordneten Körper, genannt die Menge der reellen Zahlen. Ein vollständig angeordneter Körper ist bis auf Isomorphie eindeutig. Satz: Es gelten die üblichen Rechengesetze in den reellen Zahlen. Formeln für Supremum und Infimum für die Summe zweier und das Vielfache einer beschränkten Teilmenge der reellen Zahlen. Wichtige Teilmengen der reellen Zahlen: Positive, nichtnegative, negative, nichtpositive, natürliche, ganze und rationale Zahlen. Beschränkte Intervalle: Offen, abgeschlossen, halboffen. Unbeschränkte Intervalle: Offen, abgeschlossen. Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen.13. November, 9. Vorlesung
Definition der komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen, Definition der komplexen Addition und Multiplikation. Satz: Die komplexen Zahlen bilden einen Körper (Angabe der neutralen Elemente und Formeln für die Inversen); insbesondere gelten alle Rechengesetze, die in jedem Körper gelten. Die reellen Zahlen sind in den komplexen Zahlen strukturverträglich eingebettet und werden mit den Paaren (x,0) identifiziert. i:=(0,1) heißt imaginäre Einheit. Definition von Realteil und Imaginärteil sowie von rein imaginären komplexen Zahlen. Satz: Es gibt keine mit Addition und Multiplikation verträgliche Totalordnung auf den komplexen Zahlen. Definition von und Rechenregeln für komplexe/r Konjugation. Definition von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Potenzgesetze. Definition der Quadratwurzel (Wurzel) nichtnegativer reeller Zahlen. Vorzeichenfunktion (Signumfunktion) reeller Zahlen, Definition der Betragsfunktion komplexer Zahlen.17. November, 10. Vorlesung
Rechenregeln der Betragsfunktion, speziell Dreiecksungleichung und umgekehrte Dreiecksungleichung. Veranschaulichung der komplexen Zahlen und ihrer Arithmetik (speziell von Konjugation, Addition, Multiplikation und Betrag) in der komplexen Ebene. Regeln für endliche Summen und Produkte, insbesondere Dreiecksungleichung für endlich viele Summanden. Pascalsches Dreieck. Definition der Binomialkoeffizienten. Additionstheorem der Binomialkoeffizienten. Binomischer Lehrsatz. Weitere Formeln für Binomialkoeffizienten, insbesondere Interpretation von n über k als die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von {1,...,n}.20. November, 11. Vorlesung
Arithmetik reell- und komplexwertiger Funktionen: Summe, Vielfache, Produkt, Quotient, Absolutbetrag. Nur für reellwertige Funktionen: Maximum, Minimum, positiver Anteil, negativer Anteil. Monome und Polynome. Grad von Polynomen. Spezielle Polynome: konstante, affine und quadratische Funktionen. Nullstellen (Wurzeln) von Polynomen. Rationale Funktionen. Vielfache, Summen und Produkte von Polynomen sind wieder Polynome. deg(P+Q)<=deg(P), deg(P+Q)<=deg(Q), deg(PQ)=deg(P)+deg(Q). Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Stimmen Polynome P,Q vom Grad höchstens n an n+1 verschiedenen Stellen überein, so gilt P=Q. Es gilt P=Q genau dann, wenn alle Koeffizienten von P und Q gleich sind. Vielfachheit von Nullstellen. Definition von Konvergenz von rellen und komplexen Folgen und der Begriff des Grenzwertes/Limes. Definition von Divergenz.24. November, 12. Vorlesung
Beispiele konvergenter und divergenter Folgen. Eine komplexe Folge konvergiert genau dann, wenn ihr Realteil und Imaginärteil konvergieren. Bernoullische Ungleichung. Definition der Epsilon-Umgebung sowie der Umgebung. Eine Aussage gilt per Definition für fast alle n, wenn sie für alle bis auf endlich viele n gilt. Beschränktheit von Folgen. Grenzwerte sind eindeutig. Konvergente Folgen sind beschränkt. Nullfolgen sind solche, die gegen Null konvergieren. Eine durch eine Nullfolge beschränkte Folge ist selbst eine Nullfolge. Das Produkt aus einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge. Grenzwertsätze: Eine mit dem Faktor a multiplizierte konvergente Folge mit Grenzwert z konvergiert gegen az. Die Summe zweier (bzw. endlich vieler) konvergenter Folgen konvergiert gegen die Summe der Grenzwerte. Grenzwertsätze: Das Produkt zweier (bzw. endlich vieler) konvergenter Folgen konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte. Der Quotient zweier konvergenter Folgen konvergiert gegen den Quotienten der Grenzwerte, sofern alle Nenner ungleich Null sind. Der Betrag einer konvergenten Folge konvergiert gegen den Betrag des Grenzwertes. Die komplex konjugierten einer konvergenten Folge konvergieren gegen das komplex konjugierte des Grenzwertes. Die p-te Potenz einer konvergenten Folge konvergiert gegen die p-te Potenz des Grenzwertes.27. November, 13. Vorlesung
Satz: Das Maximum (bzw. Minimum) zweier konvergenter reeller Folgen konvergiert gegen das Maximum (bzw. Minimum) der Grenzwerte. Satz: Lässt sich eine konvergente reelle Folge durch eine andere konvergente relle Folge abschätzen, so lassen sich die Grenzwerte in der selben Weise abschätzen (echte Ungleichungen können dabei allerdings zu Gleichungen werden). Einschachtelungssatz: Lässt sich eine relle Folge durch zwei konvergente relle Folgen mit gleichem Grenzwert einschachteln, so ist sie auch konvergent mit dem selben Grenzwert. Definition der bestimmten Divergenz gegen plus oder minus Unendlich. Eine monoton steigende Folge konvergiert oder divergiert bestimmt gegen plus Unendlich; eine monoton fallende Folge konvergiert oder divergiert bestimmt gegen minus Unendlich. Definition von Teilfolge und Umordnung einer Folge. Jede Teilfolge und jede Umordnung einer konvergenten Folge ist konvergent mit dem selben Limes. Definition des Begriffes des Häufungspunktes einer Folge. Satz: Eine reelle oder komplexe Zahl z ist genau dann Häufungspunkt einer Folge, wenn die Folge eine gegen z konvergente Teilfolge besitzt.1. Dezember, 14. Vorlesung
Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt und für reelle Folgen hat die Menge aller Häufungspunkte der Folge ein Maximum und ein Minimum. Definition des Begriffes der Cauchyfolge. Satz: Eine Folge in den reellen oder komplexen Zahlen ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn sie konvergent ist. Anwendung von Cauchyfolgen: Die harmonische Reihe ist nicht konvergent. Definition der Stetigkeit von Funktionen, die auf Teilmengen der komplexen (oder reellen) Zahlen definiert sind und in die reellen oder komplexen Zahlen abbilden. Beispiele: Konstante und affine Funktionen sind stetig. Beispiel: Die Signumfunktion ist (in Null) nicht stetig.4. Dezember, 15. Vorlesung
Definition des Begriffes des Häufungspunktes und des isolierten Punktes einer Teilmenge der reellen Zahlen. Satz: Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist die disjunkte Vereinigung ihrer Häufungspunkte und ihrer isolierten Punkte. Lemma: In einem isolierten Punkt ist jede Funktion stetig. Folgenkriterium für Stetigkeit. Satz: Sind zwei Funktionen stetig, so auch Vielfache, die Summe, das Produkt, der Quotient, falls der Nenner nicht Null ist, der Betrag der Funktion sowie der Realteil und der Imaginärteil der Funktion (Korollar: eine komplexwertige Funktion ist genau dann stetig, wenn ihr Realteil und ihr Imaginärteil beide stetig sind). Bei reellwertigen stetigen Funktionen sind weiterhin das Maximum, das Minimum, der positive und der negative Anteil stetig. Die Betragsfunktion, Polynome und rationale Funktionen sind stetig, sofern der Nenner nicht Null ist. Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig. Definition von beschränkten, abgeschlossenen und kompakten Teilmengen der komplexen Zahlen. Beschränkte Intervalle sind beschränkt, abgeschlossene Intervalle sind abgeschlossen. Offene und halboffene Intervalle sind nicht abgeschlossen. Nur Intervalle der Form [a,b] sind kompakt.8. Dezember, 16. Vorlesung
Epsilon-Umgebungen sind beschränkt, aber nicht abgeschlossen. Endliche Vereinigungen und beliebige Durchschnitte erhalten Beschränktheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit. Endliche Mengen sind kompakt. Urbilder von abgeschlossenen Mengen unter stetigen Abbildungen sind abgeschlossen. Abgeschlossene Kreisscheiben und Kreise sind kompakt. Halbräume in den komplexen Zahlen sind abgeschlossen. Eine Teilmenge K der komplexen Zahlen ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in K eine in K konvergente Teilfolge hat. Satz: Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Definition globaler und lokaler Extrema ((strenge) Minima und Maxima). Kompakte Teilmengen der reellen Zahlen haben ein größtes und ein kleinstes Element. Satz: Stetige Abbildungen auf nichtleeren kompakten Mengen nehmen ihr (globales) Maximum und Minimum an. Nullstellensatz von Bolzano.11. Dezember, 17. Vorlesung
Zwischenwertsatz. Stetige Funktionen bilden Intervalle auf Intervalle ab. Satz: Jede streng monotone Funktion f auf einem Intervall I hat eine auf f(I) definierte STETIGE Umkehrfunktion, die im gleichen Sinne wie f streng monoton ist; ist f stetig, so ist auch f(I) ein Intervall. Definition der n.ten Wurzel einer nichtnegativen Zahl. Diese ist stetig und streng monoton steigend. Wurzel aus 2 ist nicht rational. Nicht rationale Zahlen heißen irrational. Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar; die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht abzählbar. AGM-Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel.15. Dezember, 18. Vorlesung
Anwendung der AGM-Ungleichung: Definition und Berechnungsmethode für die Eulersche Zahl e. Definition der Dichtheit einer Menge in den reellen Zahlen. Satz: Die rationalen Zahlen sind dicht in den reellen Zahlen; die irrationalen Zahlen sind ebenfalls dicht. Jede reelle Zahl ist der Grenzwert einer streng steigenden Folge rationaler Zahlen und einer streng fallenden Folge rationaler Zahlen. Definition von Potenzen mit nichtnegativer Basis und rationalen Exponenten; dazu Potenzgesetze, Monotoniegesetze und Abschätzungen. Definition von Potenzen mit nichtnegativer Basis und reellen Exponenten; dazu Potenzgesetze, Monotoniegesetze und Abschätzungen. Definition von allgemeinen Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen. Potenzfunktionen sind auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig, sowie streng steigend für positiven und streng fallend für negativen Exponenten. Exponentialfunktionen sind stetig sowie streng steigend für Basis a>1 und streng fallend für Basis 0 < a < 1.18. Dezember, 20. Vorlesung
Send feedback concerning this page to
For spam control reasons, the e-mail address is only provided as an image.
Thus, you have to copy it manually. Sorry for any inconvenience.
Corrections (even minor ones) and suggestions for improvements are welcome.
Last update: Dec 15, 2025 Peter Philip.