Axiomatische Mengenlehre: Themenübersicht der Vorlesungen
23. April, 1. Vorlesung
Definition der Menge nach Cantor, Russelsche Antinomie. Aussagen, Wahrheitswerte, Wahrheitstafeln und logische Operatoren (speziell: Negation, Konjunktion (logisches Und), Disjunktion (logisches Oder), Implikation, Äquivalenz). Bestimmung von Wahrheitswerten. Satz vom ausgeschlossenen Dritten, Tautologien. Regeln der Aussagenlogik: Kommutativität und Assoziativität von Konjunktion und Disjunktion, Distributivgesetze, Gesetze von De Morgan, doppelte Negation, Kontraposition. Logische Begründung des Widerspruchsbeweises. Transitivität von Implikation und Äquivalenz. Definition des Beweises.28. April, 2. Vorlesung
Beispiel zur Widersprüchlichkeit der deutschen Sprache. Definition der Sprache der Mengenlehre, rekursive Definition mengentheoretischer Formeln. Erweiterung der Sprache durch Abkürzungen: logisches Oder, Implikationspfeil, Äquivalenzpfeil, Allquantor, Ungleich, Teilmengensymbol etc. Definition freier und gebundener Variablen, Beispiele dazu. Definition des Begriffs Axiom.30. April, 3. Vorlesung
Existenzaxiom (Axiom 0), Extensionalitätsaxiom (Axiom 1). Definition der Unabhängigkeit eines Axioms von einem Axiomensystem. Definition von 10 endlichen Spielmodellen. Untersuchung der Spielmodelle auf Gültigkeit des Existenzaxioms, des Extensionalitätsaxioms und auf die Existenz von leeren Mengen. Ergebnisse: Axiome 0 und 1 sind voneinander unabhängig; die Existenz von leeren Mengen ist vom System aus Axiom 0 und 1 unabhängig. Definition des universellen Abschluss einer mengentheoretischen Formel. Aussonderungsaxiom (genauer: Aussonderungsschema) (Axiom 2). Lemma: Gelten Axiome 0 und 2, so gibt es mindestens eine leere Menge. Untersuchung der Spielmodelle auf Gültigkeit des Aussonderungsschemas. Ergebnisse: Axiome 1 und 2 sind voneinander unabhängig; aus Axiomen 0-2 folgt nicht die Existenz nichtleerer Mengen.5. Mai, 4. Vorlesung
Axiom 2 allein liefert nicht die Eindeutigkeit der leeren Menge, aber Axiome 0-2 liefern den Satz: Es gibt genau eine leere Menge. Axiom 1 (Ext.) rechtfertigt die Notation definierter Mengen. Definition des Durchschnitts zweier Mengen und des Durchschnitts beliebig vieler Mengen (die Definition via einer Mengenfamilie ist äquivalent, sobald man die Axiome 3-5 noch hinzunimmt). Warnung: Der Schnitt über die leere Menge liefert die Allklasse, welche keine Menge ist. Definition der Differenz zweier Mengen. Aus Axiom 1 folgt, dass das mathematische Universum nur aus Mengen besteht, deren Elemente ausschließlich Mengen sind. Definition von Klassen von Mengen: Man sagt, dass die Klasse ``existiert'' genau dann, wenn sie eine Menge ist; sonst heißt sie eine echte Klasse. Beispiele: Die Russellklasse und die Allklasse (Klasse aller Mengen) sind echte Klassen. Definition des Paarmengenaxioms (Axiom 3). Definition des ungeordneten Paares, der Einer- oder Singletonmenge sowie des geordneten Paares. Satz: Zwei geordnete Paare sind genau dann gleich, wenn die ersten Einträge identisch sind und auch die zweiten Einträge identisch sind. Axiome 0-3 liefern unendlich viele verschiedene Mengen, aber noch nicht Mengen, die mehr als zwei Elemente haben.7. Mai, 5. Vorlesung
Allgemeine Definition geordneter Tupel (speziell geordneter Tripel). Definition des Vereinigungsmengenaxioms (Axiom 4). Definition der Vereinigung beliebig vieler Mengen (die Definition via einer Mengenfamilie ist äquivalent, sobald man Axiom 5 noch hinzunimmt), speziell von 2 Mengen. Definition der Klassenfunktion S, die jeder Menge ihren Nachfolger zuordnet. Damit ist dann 1=S(0), 2=S(1), 3=S(2), u.s.w. Untersuchung der Spielmodelle auf Gültigkeit des Vereinigungsmengenaxioms. Definition der Variablensubstitution in mengentheoretischen Formeln. Definition des ``Quantors'' der eindeutigen Existenz. Definition des Ersetzungsaxioms (genauer: Ersetzungsschemas) (Axiom 5). Definition kartesischer Produkte.12. Mai, 6. Vorlesung
Untersuchung der Spielmodelle auf Gültigkeit des Ersetzungsschemas. Definition von Relationen sowie der zugehörigen Begriffe Definitionsbereich (domain), Wertebereich (codomain) und Graph. Für Relationen über A,B: Definition der Begriffe Bild, Urbild, univalent/rechtseindeutig/partielle Funktion, total/linkstotal, injektiv/linkseindeutig, eineindeutig, surjektiv/rechtstotal, Funktion, bijektive Funktion. Definition von Identität/Diagonale auf einer Menge. Definition der inversen Relation sowie von Einschränkung, Fortsetzung und Komposition von Relationen. Für Relationen auf A: Definition der Begriffe reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, transitiv, Äquivalenzrelation, trichotomisch, Partialordnung (PO), Totalordnung (TO), strenge PO, strenge TO. Zusammenhang zwischen einer PO und der zugehörigen strengen PO (und umgekehrt). Definition von unterer Schranke, oberer Schranke, Minimum, Maximum, Infimum, Supremum. Satz: Minimum, Maximum, Infimum und Supremum sind alle eindeutig, sofern sie überhaupt existieren. Definition von (streng) isotonen/wachsenden/ordnungserhaltenden Funktionen, von (streng) antitonen/fallenden/ordnungsumkehrenden Funktionen sowie von (streng) monotonen Funktionen. Satz: Streng monotone Funktionen auf total geordneten Mengen sind injektiv; ist f eine invertierbare und isotone (bzw. antitone) Funktion auf einer total geordneten Menge, so ist auch die Umkehrfunktion isoton (bzw. antiton).14. Mai, 7. Vorlesung
Definition der (strengen) Wohlordnung. Definition des lexikographischen Produktes von Relationen (speziell: der lexikographischen Ordnung). Satz: Das lexikographische Produkt erhält die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, trichotomisch, (strenge) Partialordnung, (strenge) Totalordnung, (strenge) Wohlordnung; aber i.A. NICHT transitiv oder Äquivalenzrelation. Definition der starken Einschränkung einer Relation auf einer Menge. Satz: Bilden der starken Einschränkung erhält die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, transitiv, Äquivalenzrelation, trichotomisch, (strenge) Partialordnung, (strenge) Totalordnung, (strenge) Wohlordnung; Definition der transitiven Menge. Satz: Durchschnitte transitiver Mengen sind transitiv; Vereinigungen transitiver Mengen sind transitiv. Definition der Ordinalzahl, der Nachfolgeordinalzahl, der Limesordinalzahl sowie der Klasse aller Ordinalzahlen. Definition von Ordnung und strenger Ordnung auf den Ordinalzahlen. Beispiele: Die Elementrelation kann auf einer Menge transitiv sein, ohne dass die Menge transitiv ist, und umgekehrt. Satz: Eine Ordinalzahl kann sich nicht selbst als Element enthalten. Satz: Eine Ordinalzahl enthält als Elemente nur Ordinalzahlen (das heißt, die Klasse der Ordinalzahlen ist transitiv). Satz: Der Schnitt zweier Ordinalzahlen ist eine Ordinalzahl.19. Mai, 8. Vorlesung
Satz: Die Kleinergleichrelation stimmt auf den Ordinalzahlen mit der Teilmengenrelation überein. Satz: Die Elementrelation bildet eine strenge Wohlordnung auf der Klasse der Ordinalzahlen. Satz: Die Klasse der Ordinalzahlen ist eine echte Klasse. Satz: Die Elementrelation ist eine strenge Wohlordnung auf jeder Menge von Ordinalzahlen; eine Menge von Ordinalzahlen ist genau dann eine Ordinalzahl, wenn sie transitiv ist; jede Ordinalzahl ist gleich ihrer eigenen Vorgängermenge, also ein Anfangsstück der Klasse der Ordinalzahlen. Ist X eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen, so ist der Schnitt über die Elemente von X eine Ordinalzahl (und zwar das Minimum von X) und auch die Vereinigung über die Elemente von X ist eine Ordinalzahl, nämlich das Supremum von X. Satz: Der Nacholger einer Ordinalzahl ist eine Ordinalzahl; jede Ordinalzahl ist kleiner as ihr Nachfolger; sind a,b Ordinalzahlen, so ist b genau dann kleiner als der Nachfolger von a, wenn b kleinergleich a ist; b ist genau dann kleiner als a, wenn der Nachfolger von b kleiner als der Nachfolger von a ist; eine Limesordinalzahl ist gleich ihrem eigenen Supremum, eine Nachfolgeordinalzahl ist der Nachfolger ihres eigenen Supremums. Definition von Homomorphismus, Monomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus, Endomorphismus, Automorphismus für Abbildungen zwischen Mengen mit Relationen. Satz: Eine Abbildung zwischen zwei Totalordnungen ist genau dann Isomorphismus, wenn sie streng isoton und surjektiv ist. Definition der Vorgängermenge eines Elementes einer Menge mit einer Relation. Satz: Ein Isomorphismus f zwischen zwei Wohlordnungen bildet Anfangsstücke auf Anfangsstücke ab (das heißt f vertauscht mit dem Bilden der Vorgängermenge).21. Mai, 9. Vorlesung
Satz: Ist f ein Isomorphismus zwischen Ordinalzahlen a und b, so ist a=b und f die Identität auf a (speziell ist die Identität auf der Ordinalzahl a der einzige Automorphismus auf a). Satz: Ist A eine Menge mit einer strengen Wohlordnung, so gibt es genau eine Ordinalzahl a so, dass A und a isomorph sind; weiterhin ist der Isomorphismus zwischen A und a eindeutig und man nennt a den Ordnungstyp der strengen Wohlordnung. Definition des Undendlichkeitsaxioms. Untersuchung der Spielmodelle auf Gültigkeit des Undendlichkeitsaxioms (es gibt Modelle, die endlich sind und das Undendlichkeitsaxiom sowie alle bisherigen Axiome, außer dem Aussonderungsaxiom, erfüllen). Definition der natürlichen Zahl. Satz: Der Nachfolger jeder natürlichen Zahl ist eine natürliche Zahl; jedes Element einer natürlichen Zahl ist 0 oder eine natürliche Zahl. Prinzip der klassischen Induktion: Enthält eine Menge X die 0 und zu jeder Menge auch den Nachfolger, so enthält X die 0 und alle natürlichen Zahlen.26. Mai, 10. Vorlesung
Definition der Menge omega und der Menge der natürlichen Zahlen. Satz: omega enthält genau alle natürlichen Zahlen und die 0. Satz: omega ist die kleinste Limesordinalzahl. Satz: Sind a,b Ordinalzahlen und b in a, so ist b das Minimum von a ohne b. Satz: omega (und auch jede Menge der Form omega ohne ein echtes Anfangsstück von omega) erfüllen die Peanoaxiome P1,P2,P3. Definition der Peanostuktur. Satz zur klassischen Induktion: Beweis von Induktionsverankerung und Induktionsschritt beweist eine Aussage für alle Elemente einer Peanostuktur. Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen. Definition von endlich, unendlich, abzählbar. Definition der Kardinalität von endlichen Mengen und allgemeiner von streng wohlgeordneten Mengen. Satz: Die Gleichmächtigkeit von Mengen stellt eine Äquivalenzrelation auf jeder Menge von Mengen dar. Satz: omega (und auch jede Menge der Form omega ohne ein echtes Anfangsstück von omega) ist unendlich. Satz: Endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn sie die selbe Kardinalität haben.28. Mai, 11. Vorlesung
Teilmengen endlicher Mengen sind endlich, wobei echte Teilmengen echt kleinere Kardinalität haben; hat dabei B genau ein Element weniger als A, so ist die Kardinalität von A der Nachfolger der Kardinalität von B. Viele Konzepte übertragen sich von Mengen auf echte Klassen: Zum Beispiel Durchschnitt, Vereinigung, kartesisches Produkt, Teilklasse, Relation, Eigenschaften von Relationen (z.B. injektiv, surjektiv, Funktion, reflexiv, transitiv, Partialordnung, Totalordnung, Einschränkung etc.) Definition: Eine Relation ist eine (strenge) Wohlordnung auf der Klasse A, wenn sie eine (strenge) Totalordnung ist und jede Teil_menge_ ein Minimum hat. Unterschied der Definition (bzw. Aussage) für Mengen und Klassen: Eine Definition (bzw. Aussage) für Mengen lässt sich durch eine mengentheoretische Formel ausdrücken; eine Definition (bzw. Aussage) für Klassen steht i.A. für ein Schema aus unendlich vielen verschiedenen mengentheoretischen Formeln; Beispiele dazu. Die folgenden Definitionen und Sätze werden für Klassen formuliert: Definition minimaler und maximaler Elemente einer Klasse, Definition der wohlfundierten Relation, Definition des transitiven Abschlusses einer Relation, sowie der Relationseigenschaften azyklisch/kreisfrei und irreflexiv. Minimale/maximale Elemente sind i.A. nicht eindeutig, aber Minima bei strengen Partialordnungen sind eindeutige minimale Elemente. Satz: Eine strenge Totalordnung ist genau dann wohlfundiert, wenn sie eine strenge Wohlordnung ist. Beispiel: Bilden des transitiven Abschlusses vertauscht i.A. nicht mit dem Bilden der starken Einschränkung. Satz: Minimale Elemente sind genau dann eindeutig, wenn die Relation trichotomisch ist.2. Juni, 12. Vorlesung
Satz: Der transitive Abschluss einer Relation ist transitiv. Satz: Ist eine Relation wohlfundiert, so ist sei azyklisch (die Umkehrung gilt auf endlichen Mengen, aber i.A. nicht auf unendlichen Mengen). Satz: Ist eine Relation wohlfundiert, so ist ihr transitiver Abschluss eine strenge Partialordnung. Satz: Ist f von (A,R) in die Ordinalzahlen eine streng isotone Funktion, so ist R wohlfundiert. Definition von mengenartigen Relationen. Beispiele: Relationen, die Mengen sind, sind auch mengenartig; die Elementrelation auf den Ordinalzahlen ist mengenartig; die lexikographische Ordnung auf ONxON ist nicht mengenartig (aber eine strenge Wohlordnung). Satz: Für mengenartige Relationen sind auch die n-stufigen Vorgängerklassen Mengen und auch der transitive Abschluss ist mengenartig.4. Juni, 13. Vorlesung
Satz zum Prinzip der transfiniten Induktion über (mengenartige) wohlfundierte Relationen. Korollare zum Satz zum Prinzip der transfiniten Induktion formuliert für Beweise mit Induktionsanfang und Induktionsschritt in 4 üblichen Situationen: (a) allgemeine Klasse mit wohlfundierter mengenartiger Relation, (b) Klasse der Ordinalzahlen mit Elementrelation, (c) feste Ordinalzahl mit Elementrelation, (d) endliche Menge, bijektiv abgezählt durch natürliche Zahlen. Satz: Jede unendliche Ordinalzahl ist 'Summe' aus einer Limesordinalzahl und einer natürlichen Zahl (oder 0). Satz: Der Durchschnitt jeder Menge transitiver Relationen auf einer Menge ist selbst eine transitive Relation. Satz: Der transitive Abschluss einer Relation R auf einer Menge A ist der Durchschnitt aller transitiven Oberrelationen von R (wenn die Potenzklasse von AxA eine Menge ist).9. Juni
Keine Vorlesung wegen des Feiertags.11. Juni, 14. Vorlesung
Satz zum Prinzip der transfiniten Rekursion über (mengenartige) wohlfundierte Relationen. Korollare zum Satz zum Prinzip der transfiniten Rekursion formuliert für Rekursion in 3 üblichen Situationen: (a) Rekursion über die Klasse der Ordinalzahlen, (b) Rekursion über eine konkrete Ordinalzahl (z.B. omega), (c) Rekursion über das bijektive Bild einer Ordinalzahl (z.B. die Menge der natürlichen Zahlen).16. Juni, 15. Vorlesung
Anwendungen: Rekursive Definition der n-fach iterierten Anwendung einer (i.A. Klassen-)Funktion. Rekursive Definition eines allgemeinen Produktsymbols für das iterierte Anwenden von Operationen (z.B. Addition, Multiplikation, Verkettung, Paarbildung, etc.). Rekursive Definition von kartesichen Produkten endlich vieler Mengen sowie von geordneten n-Tupeln, sodass ein kartesisches Produkt aus n Mengen genau die zugehörigen geordneten n-Tupel als Elemente enthält. Satz: Die Klasse der Funktionen von n nach A (also A^n) ist eine Menge und die Klasser aller endlichen Teilmengen einer Menge ist eine Menge (beides auch schon ohne Potenzmengenaxiom). Konstruktion eines Modells, das Axiome 0-3 (Existenz, Extensionalität, Aussonderung, Paarmengen) erfüllt, aber nur Mengen mit höchstens 2 Elementen enthält.18. Juni, 16. Vorlesung
Satz: Je zwei Peanostrukturen sind isomorph. Rekursive Definition der Ordinalzahladdition. Satz: a+1=S(a) gilt für jede Ordinalzahl a. Satz: 0 ist neutral für die Ordinalzahladdition. Satz: Rechtsaddition ist streng isoton auf den Ordinalzahlen. Satz: Ist f von ON nach ON streng isoton, so ist f(a) immer mindestens a. Rekursive Definition der Ordinalzahlmultiplikation. Satz zur Ordinalzahlmultiplikation: Multiplikation mit 0 liefert 0; 1 ist neutral; Rechtsmultiplikation ist streng isoton, wenn links nicht 0 steht. Definition von Rangfunktionen auf Klassen mit wohlfundierten mengenartigen Relationen.23. Juni, 17. Vorlesung
Satz: Minimale Elemente haben Rang 0, der Rang ist immer eine Ordinalzahl, jede Rangfunktion ist streng isoton. Satz: Der Rang auf den Ordinalzahlen bezüglich der Elementrelation ist die Identität. Gilt der Rekursionssatz auf einer Klasse mit mengenartiger Relation, so ist die Relation wohlfundiert. Rekursionsfreie Darstellung der Ordinalzahladdition. Satz zur Ordinalzahladdition: + ist assoziativ; + ist kommutativ auf omega, aber nicht auf ON; + erfüllt Kürzungsregel links, aber nicht rechts; Subtraktion auf ON; Linksaddition ist isoton; omega ist abgeschlossen unter +. Rekursionsfreie Darstellung der Ordinalzahlmultiplikation. Satz zur Ordinalzahladdition: • ist assoziativ; Distributivgesetz gilt links, aber nicht rechts; • ist kommutativ auf omega, aber nicht auf ON; • erfüllt Kürzungsregel links, aber nicht rechts; Linksmultiplikation ist isoton; Division mit Rest auf ON; omega ist abgeschlossen unter •.25. Juni, 18. Vorlesung
Rekursive Definition des Potenzierens auf den Ordinalzahlen. Satz zum Potenzieren: 0 im Exponenten liefert 1; 1 im Exponenten ist neutral, 1 als Basis liefert 1, 0 als Basis liefert 0 (falls Exponent nicht 1); Exponentialfunktionen sind streng isoton (falls Basis nicht 0 oder 1); Potenzfunktionen sind isoton. Definition stetiger und normaler Funktionen zwischen den Ordinalzahlen. Satz: Enthält eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen ihr Supremum s nicht, so ist s eine Limesordinalzahl. Satz: Die Anwendung einer normalen Funktion vertauscht mit der Bildung des Supremums einer nichtleeren Menge von Ordinalzahlen, und dies gilt insbesondere für die Rechtsaddition, Rechtsmultiplikation und Exponentialfunktionen, da diese alle normal sind.30. Juni, 19. Vorlesung
Potenzgesetze auf den Ordinalzahlen. Satz: Normale Funktionen haben beliebig große Fixpunkte. Definition des Potenzmengenaxioms sowie der Potenzmenge einer Menge und der Menge B^A der Funktionen von B nach A. Untersuchung der Spielmodelle auf Gültigkeit des Potenzmengenaxioms. Definition der Relationen 'gleichmächtig', 'kleinergleich' und 'echt kleiner' für Mengen. Satz von Schröder/Bernstein: Mengen A und B sind genau dann gleichmächtig, wenn A kleinergleich und B kleinergleich A.2. Juli, 20. Vorlesung
Satz: Eine Menge ist immer echt kleiner als ihre Potenzmenge. Satz: Die Potenzmenge einer Menge A ist immer gleichmächtig zur Menge der Funktionen von A nach 2. Potenzgesetze für das Potenzieren von Mengen. Ist X Teilmenge der Ordinalzahl a, so ist der Ordnungstyp von X höchstens a. Definition der Klasse WO aller Mengen, die eine strenge Wohlordnung besitzen. Satz: Lässt sich A injektiv in eine Ordinalzahl a abbilden, so ist A in WO und der Ordnungstyp ist höchstens a; sind die Ordinalzahlen a,b,c aufsteigend geordnet und a und c gleichmächtig, so sind alle drei gleichmächtig; jede unendliche Ordinalzahl ist gleichmächtig zu ihrem Nachfolger. Definition der Kardinalzahl und der Klasse aller Kardinalzahlen Card. Satz: Jede unendliche Kardinalzahl ist eine Limeskardinalzahl; jedes Element von omega ist eine Kardinalzahl; das Supremum jeder Menge von Kardinalzahlen ist eine Kardinalzahl; omega ist eine Kardinalzahl. Satz: A ist genau dann in WO, wenn A gleichmächtig zu einer Ordinalzahl ist; ist A in WO, so ist #A eine Kardinalzahl; ist A in WO und lässt sich A auf B surjektiv abbilden, so ist B in WO und #B ist höchstens #A; B lässt sich genau dann injektiv in die Kardinalzahl k abbilden, wenn k sich surjektiv auf B abbilden lässt; Mengen aus WO lassen sich mit hilfe ihrer Kardinalitäten vergleichen.7. Juli, 21. Vorlesung
Satz von Hartogs. Definition der Hartogs-Aleph-Funktion sowie der Kardinalzahlen omega_a, rekursiv über die Ordinalzahl a. Satz: Die Funktion, die a auf omega_a abbildet ist streng isoton und sogar normal; eine Menge A ist genau dann eine unendliche Kardinalzahl, wenn sie gleich einem omega_a ist. Für jede Ordinalzahl a ist #(a x a)=#a.9. Juli, 22. Vorlesung
Satz: Wenn min(a,b) mindestens 2 und max(a,b) mindestens omega ist, so gilt #(a+b)=#(ab)=#(a^b)=max(#a,#b) (jeweils ist Ordinalzahlarithmetik gemeint). Definition des Fundierungsaxioms. Satz: Das Fundierungsaxiom gilt genau dann, wenn die Elementrelation auf V wohlfundiert ist. Gilt das Fundierungsaxiom, so ist die Elementrelation auf V azyklisch und ihr transitiver Abschluss ist irreflexiv (speziell kann sich keine Menge selbst enthalten). Bereits das Fundierungsaxiom und das Aussonderungsaxiom implizieren, dass sich keine Menge selbst enthalten kann. Untersuchung der Spielmodelle auf Gültigkeit des Fundierungsaxioms. Satz: Ist A Teilklasse von B und R wohlfundiert und mengenartig auf B, so ist der Rang von a aus A bezüglich A höchstens so groß wie der Rang von a bezüglich B und die Ränge sind gleich, wenn die Vorgängermenge von a bezüglich des transitiven Abschlusses von R ganz in B liegt. Definition des transitiven Abschlusses tcl(y) einer Menge y.14. Juli, 23. Vorlesung
Definition der Wohlfundiertheit einer Menge sowie des Ranges rk(y) einer wohlfundierten Menge y. Definition der Klasse WF aller wohlfundierten Mengen. Satz: Ist T eine transitive Klasse und y in T, so ist tcl(y) Teilmenge von T; ist die Elementrelation zusätzlich wohlfundiert auf T, so ist T Teilklasse von WF und rk(y) lässt sich als Rang bezüglich T berechnen. Satz: ON ist Teilklasse von WF und WF ist eine echte Klasse; für jede Ordinalzahl a ist rk(a)=a (gilt das Fundierungsaxiom ist dies auf der Rang von a bezüglich V); das Fundierungsaxiom ist äquivalent zur Aussage V=WF. Satz: WF ist transitive Klasse: Ist x in y und y in WF, so ist x in WF (und es gilt rk(x) kleiner rk(y)); die Elementrelation ist wohlfundiert auf WF; eine Menge ist Element von WF genau dann, wenn sie Teilmenge von WF ist; Formel für die Berechnung von rk(y) für y in WF; ist x Teilmenge von y in WF, so ist x in WF und rk(x) ist höchstens rk(y).16. Juli, 24. Vorlesung
Satz: WF ist abgeschlossen unter der Bildung von Singletonmengen, Paarmengen, geordneten Paaren, Potenzmengen, Vereinigungsmengen, transitiven Abschlüssen von Mengen (jeweils mit Formel oder zumindest Abschätzung für den Rang). Definition der von-Neumann-Ränge R(a). Satz: Die von-Neumann-Ränge lassen sich durch transfinite Rekursion über ON konstruieren, und WF ist genau die Vereinigung aller von-Neumann-Ränge R(a). Definition der Axiomensystem ZF und ZFC. Definition des Auswahlaxioms (AC). Beispiel: Ist A Menge, so impliziert AC die Existenz einer Auswahlfunktion auf der Menge der nichtleeren Teilmengen von A. Definition des Begriffes 'von endlichem Charakter' für eine Teilmenge der Potenzmenge. Definition der Begriffe Kette und maximale Kette für Teilmengen einer Menge mit strenger Partialordnung. Satz: Eine Menge ist genau dann in WO, wenn es auf der Menge ihrer nichtleeren Teilmengen eine Auswahlfunktion gibt.21. Juli, 25. Vorlesung
Satz: Die folgenden Aussagen (i) - (vi) sind äquivalent zum Auswahlaxiom (auch ohne Benutzung des Fundierungsaxioms): (i) Jedes nichtleere kartesische Produkt nichtlleerer Mengen ist nichtleer.(ii) Zermelos Wohlordnungsatz: V=WO (das heißt, jede Menge lässt sich wohlordnen).
(iii) Je zwei Mengen sind größenmäßig vergleichbar.
(iv) Tukeys Lemma: Ist A eine Menge, F eine Teilmenge der Potenzmenge von A, und F hat endlichen Charakter, so enthält F zu jedem X in F ein maximales Element Y so, dass X Teilmenge von Y ist.
(v) Hausdorffs Maximalitätsprinzip: Jede partiell geordnete Menge enthält eine maximale Kette.
(vi) Zornsches Lemma: Hat in einer partiell geordneten Menge X jede Kette eine obere Schranke, so gibt es in X ein maximales Element. Definition von Kardinalzahladdition, -multiplikation und -potenzieren.
23. Juli, 26. Vorlesung
Formeln für die Kardinalität der Ordinalzahlsumme und des Ordinalzahlproduktes. Satz: Kardinalzahladdition und -multiplikation sind assoziativ, kommutativ und distributiv. Auf den natürlichen Zahlen stimmt das Potenzieren von Kardinalzahlen und Ordinalzahlen überein. Potenzgesetze für das Potenzieren von Kardinalzahlen. Isotonie von Kardinalzahladdition, -multiplikation und -potenzieren. Satz: Sind zwei Kardinalzahlen nicht 0 und ist mindestens eine der Zahlen unendlich, so sind Summe und Produkt der Zahlen beide gleich dem Maximum der Zahlen. Ist K eine Kardinalzahl, so ist die nächstgrößere Kardinalzahl höchstens so groß wie die Potenzmenge von K. Ist K mindestens 2 und höchstens so groß wie die Potenzmenge von L, L unendlich, so ist K^L gleichmächtig zur Potenzmenge von L. Definition der Kontinuumshypothese und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese; Diskussion der Unabhängigkeit von ZFC. Satz: Ist K eine unendliche Kardinalzahl, so hat die Vereinigung von höchstens K vielen Mengen der Kardinalität höchstens K auch Kardinalität höchstens K. Definition der kofinalen Abbildung zwischen Ordinalzahlen sowie der Kofinalität cf(a) einer Ordinalzahl a. Definition von regulären und von singulären Ordinalzahlen. Satz: cf(a) ist höchstens a; für Nachfolgeordinalzahlen a ist cf(a)=1; für Limesordinalzahlen a ist cf(a) der minimale Ordnungstyp von nichtleeren Teilmengen von a, deren Supremum a ist. Satz von König: Für unendliche Kardinalzahlen K ist K kleiner K^cf(K); ist K mindestens 2 und L unendlich, so ist L kleiner cf(K^L).Send feedback concerning this page to
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Last update: Jul 23, 2025 Peter Philip.