Analysis II für Statistik: Themenübersicht der Vorlesungen
19. April, 1. Vorlesung
Euklidischer Raum K^n (Addition, Skalarmultiplikation, Skalarprodukt, (euklidische) Norm, (euklidischer) Abstand, Ungleichnungen, Intervalle). Konvergenz und Cauchyfolgen im K^n. Satz: Folge ist genau dann in K^n konvergent bzw. Cauchy, wenn all ihre Koordinatenfolgen in K (also in den reellen bzw. in den komplexen Zahlen) konvergent bzw. Cauchy sind. Definition beschränkter Folgen im K^n. Satz: Teilfolgen und Umordnungen konvergenter Folgen im K^n konvergieren, konvergente Folgen sind beschränkt. Der Limes ist eindeutig.26. April, 2. Vorlesung
Grenzwertsätze im K^n. Satz: Folge in K^n ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchy ist. Satz von Bolzano-Weierstraß. Definition Norm, normierter Raum. Satz: Normen erfüllen die umgekehrte Dreiecksungleichung. Beispiele für Normen (z. B. Supremumsnorm auf der Menge der beschränkten reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einer Menge S). Offene und abgeschlossene Kugel, Sphäre, innerer Punkt, Randpunkt, Häufungspunkt, isolierter Punkt einer Menge. Das Innere, der Rand und der Abschluss einer Menge. Offene und abgeschlossene Mengen. Offene Kugeln sind offen, abgeschlossene Kugeln sind abgeschlossen. Die leere Menge und der ganze Raum sind offen und abgeschlossen. Punkte sind abgeschlossen.3. Mai, 3. Vorlesung
Beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen. Beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Definition des Durchmessers und der Beschränktheit einer Menge. Satz: Endliche Mengen und endliche Vereinigungen von beschränkten Mengen sind beschränkt. Definition für Folgen in normierten Räumen: Beschränktheit, Konvergenz, Divergenz, Cauchyfolge, Häufungspunkt. Satz: Grenzwerte sind eindeutig, konvergente Folgen sind beschränkt; Teilfolgen und Umordnungen konvergenter Folgen konvergieren gegen den selben Grenzwert wie die Ausgangsfolge; ein Punkt x ist genau dann Häufungspunkt einer Folge, wenn die Folge eine Teilfolge besitzt, die gegen x konvergiert; konvergente Folgen sind Cauchyfolgen. Beispiel einer nicht-konvergenten Cauchyfolge. Satz zur Stetigkeit der Norm. Definition des Banachraumes. Definition des Grenzwertes für Funktionen zwischen normierten Räumen. Definition der Stetigkeit für Funktionen zwischen normierten Räumen. Satz zum Folgenkriterium für Funktionengrenzwerte und Stetigkeit.10. Mai, 4. Vorlesung
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Last update: May 3, 2024 Peter Philip.