Lineare Algebra II: Themenübersicht der Vorlesungen
24. April
Definition affiner Unterräume als Nebenklassen von Untervektorräumen. Satz: Ist M=v+U affiner Unterraum, so ist der Untervektorraum U eindeutig durch M bestimmt und v ist nur dann eindeutig, wenn U trivial ist. Definition von Punkten, Geraden und Ebenen. Definition von Affinkombinationen. Satz: Eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraumes ist genau dann ein affiner Unterraum, wenn sie unter Affinkombinationen abgeschlossen ist. Satz: Beliebige Durchschnitte von affinen Unterräumen sind entweder leer oder ein affiner Unterraum; ist die Charakteristik des Körpers nicht 2, so ist die Vereinigung zweier affiner Unterräume nur dann ein affiner Unterraum, wenn der eine Raum im anderen enthalten ist. Definition der affinen Hülle aff(A) einer nichtleeren Menge A (A ist dann ein Erzeuger von aff(A)). Satz: aff(A) ist der kleinste affine Unterraum, der A enthält und besteht aus allen Affinkombinationen von Elementen aus A; ist A in B enthalten, so auch aff(A) in aff(B); es gilt aff(A)=A genau dann, wenn A ein affiner Unterraum ist; es gilt aff(aff(A))=aff(A).26. April
Satz: Für v in A ist span(-v+A)=U genau dann, wenn aff(A)=v+U. Definition affiner Abhängigkeit und Unabhängigkeit (eines Vektors von einer Menge, und einer Teilmenge eines Vektorraumes). Lineare Unabhängigkeit impliziert affine Unabhängigkeit, aber die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Beispiele: Die leere Menge ist affin unabhängig; Mengen mit genau einem oder mit genau zwei Elementen sind immer affin unabhängig. Satz: Eine Menge ist affin abhängig genau dann, wenn sie einen Vektor enthält, der von den restlichen Vektoren der Menge affin abhängig ist. Satz: Affine Abhängigkeit vererbt sich auf Obermengen, affine Unabhängigkeit vererbt sich auf Teilmengen. Definition der affinen Basis. Satz: Eine nichtleere Teilmenge eines affinen Unterraumes ist genau dann eine affine Basis, wenn sie eine maximale affin unabhängige Teilmenge ist und auch genau dann, wenn sie ein minimaler affiner Erzeuger ist. Basissatz: Jede affin unabhängige Teilmenge eines affinen Unterraumes lässt sich zu einer affinen Basis des affinen Raumes ergänzen (insbesondere hat jeder affine Unterraum eine Basis); je zwei affine Basen eines affinen Unterraumes sind gleichmächtig; ist U affin unabhängige Teilmenge und B eine affine Basis, so kann man U in B hineintauschen, d.h., es gibt eine Teilmenge C von B so, dass die disjunkte Vereinigung von U und C wieder eine affine Basis ist. Satz: Ein Vektor in einem affinen Unterraum hat bezüglich einer affinen Basis eindeutige baryzentrische Koordinaten.1. Mai
Keine Vorlesung wegen des Feiertags.3. Mai
Affine Koordinaten im Unterschied zu den baryzentrischen Koordinaten. Definition des Baryzentrums affin unabhängiger Vektoren. Definition von Konvexkombination und von konvexer Hülle sowie von n-dimensionalen Simplizes (speziell Punkten, Strecken, Dreiecken, Tetraedern, sowie des Standard-n-Simplex im R^d. Definition und Eigenschaften von Translationen. Definition und Eigenschaften affiner Abbildungen. Satz: Affine Abbildungen A bilden affine Unterräume auf affine Unterräume ab; auch gilt A(aff(S))=aff(A(S)). Satz: Affine Urbilder affiner Unterräume sind leer oder wieder affine Unterräume. Satz: Injektive affine Abbildungen bilden affin unabhängige Mengen auf affin unabhängige Mengen ab (im Unterschied zu linearen Abbildungen folgt aus dieser Eigenschaft aber umgekehrt NICHT die Injektivität). Satz: Eine affine Abbildung ist surjektiv genau dann, wenn aus V=aff S folgt, dass W=aff(A(S)). Satz: Affine Unterräume sind genau die Translationen von Untervektorräumen und auch genau die nichtleeren Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme.8. Mai
Satz: Für affine Unterräume M=v+UM und N=w+UN sind äquivalent: (i) Es gibt Translationen S,T und einen linearen Isomorphismus L zwischen UM und UN so, dass N=(SLT)(M); (ii) UM und UN sind isomorphe Vektorräume; (iii) M und N haben die selbe Dimension; (iv) affine Basen von M und N sind gleichmächtig. Satz: Mit punktweise Addition und skalarer Multiplikation bildet die Menge der affinen Abbildungen von V nach W einen Vektorraum. Definition der Inzidenz und der Parallelität affiner Unterräume. Satz: Parallele affine Unterräume sind inzident oder disjunkt; Parallelität ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der affinen Unterräume der endlichen Dimension n (n fest); Parallelität keine Äquivalenzrelation auf der Menge aller affinen Unterräume, wenn der Vektorraum mindestens Dimension 2 hat und auch keine Äquivalenzrelation auf der Menge aller affinen Unterräume gleicher unendlicher Dimension. Satz: Zwei verschiedene Punkte liegen auf genau einer gemeinsamen Gerade; drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen, liegen auf genau einer gemeinsamen Ebene; die affine Hülle von n Vektoren ist die Summe aus einem der Vektoren v und dem linearen Spann der Differenzen zwischen den verbleibenden Vektoren und v. Satz: Affine Abbildungen erhalten Inzidenz und Parallelität. Die Translation eines affinen Unterraums M ist parallel zu M. Definition der Begriffe Funktional/Form und Linearform. Beispiele von Linearformen. Definition des (linearen) Dualraums eines Vektorraumes. Satz: Eine Linearform ist durch ihre Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.10. Mai
Definition der dualen Basis (die entsprechende Menge ist im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume immernoch linear unabhängig, aber dann keine Basis des Dualraums mehr) und der geordneten dualen Basis. Die Anwendung von Linearformen in endlichdimensionalen Räumen lässt sich als Matrixprodukt schreiben. Wird eine Basis von V mit der Matrx C transformiert, so wird die zugehörige duale Basis mit der Transponierten der Inversen von C transformiert. Satz: Ist U ein Untervektorraum und v nicht in U, so gibt es eine Linearform, die auf U verschwindet und auf v gleich 1 ist. Definition der dualen Paarung, des Bidual und der kanonischen Einbettung eines Vektorraums in seinen Bidual. Satz: Die kanonische Einbettung ist ein linearer Monomorphismus; sie ist ein linearer Isomorphismus, wenn der Vektorraum endlichdimensional ist. Satz: Ist B' eine Basis des Dualraums, so gibt es eine Basis B des Vektorraumes so, dass B und B' dual sind. Definition von Vorwärts- und Rückwärtsannihilatoren. Satz: Annihilatoren sind immer Untervektorräume und der Annihilator einer Menge ist gleich dem Annihilator vom Spann der Menge. Definition von Restriktion und Inflation. Satz: Ist V Vektorraum mit Unterraum U, so ist die Restriktion ein linearer Epimorphismus von V' auf U', dessen Kern der Annihilator von U ist. Satz: dim V'=dim U'+dim(Annihilator von U). Satz: U' ist isomorph zum Quotientenraum V' nach Annihilator von U. Satz: Der Annihilator von U ist isomorph zum Dual des Quotientenraums V/U.15. Mai
Satz: Der Rückwärtsannihilator des Vorwärtsannihilators eines Unterraumes U ist U; der Vorwärtsannihilator des Rückwärtsannihilators eines Unterraumes S des Dualraumes ist Obermenge von S, und gleich S im endlichdimensionalen Fall; der Vorwärtsannihilator zweier Unterräume ist der Durchschnitt der Annihilatoren der beiden Räume, der Annihilator des Schnittes ist die Summe der Annihilatoren der beiden Räume; der Rückwärtsannihilator zweier Unterräume des Dualraums ist der Durchschnitt der Annihilatoren der beiden Räume, der Annihilator des Schnittes ist Obermenge der Summe der Annihilatoren der beiden Räume (im endlichdimensionalen Fall gilt Gleichheit). Definition von Hyperebenen. Ist H Hyperebene in V, so ist H ein affinier Unterraum und dim(V)=1+dim(H). Darstellung von Hyperebenen als Nebenklassen von Kernen von Linearformen. Satz: Hat der Vektorraum V die endliche Dimension n, so sind die Hyperebenen genau die (n-1)-dimensionalen affinen Unterräume. Kriterium für Gleichheit bzw. für Parallelität von Hyperebenen. Satz: Ein m-dimensionaler affiner Unterraum eines Vektorraumes der endlichen Dimension n, m kleiner n, ist Durchschnitt von n-m Hyperebenen. Beispiel: Ein Vektor x ist genau dann Lösung eines linearen Gleichungssystems aus m linearen Gleichungen, wenn x im Schnitt von m geeigneten Hyperebenen liegt; Verifikation, dass die Operationen des Gaußschen Eliminationsverfahrens diesen Schnitt unverändert lassen. Satz zur Existenz der dualen Abbildung einer linearen Abbildung (speziell ist die duale Abbildung auch linear).17. Mai
Definition der dualen Abbildung einer linearen Abbildung. Satz: Wird eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen bezüglich Basen durch die Matrix A dargestellt, so wird die duale Abbildung bezüglich der dualen Basen durch die transponierte Abbildung dargestellt (bzw. durch die selbe Matrix, wenn man die Elemente des Dualraums als Zeile notiert). Änderung der Matrix der dualen Abbildung bei Basistransformation. Satz: Das Bilden der dualen Abbildung ist eine lineare Operation. Satz: Bei Verkettung gilt (BA)'=A'B'. Satz: Der Kern von A' ist der Vorwärtsannihilator vom Bild von A; der Kern von A ist der Rückwärtsannihilator vom Bild von A'; A ist Epimorphismus genau dann, wenn A' Monomorphismus; ist A' Epimorphismus, so ist A Monomorphismus, und ist der Definitionsbereich von A endlichdimensional, so gilt auch die Umkehrung; ist A' Isomorphismus, so ist A Isomorphismus, und ist der Definitionsbereich von A endlichdimensional, so gilt auch die Umkehrung; Satz: Mittels der kanonischen Einbettungen lässt sich A mit seiner bidualen Abbildung A'' identifizieren. Definition von k-Zyklen und Transpositionen in der symmetrischen Gruppe. Satz: Die symmetrische Gruppe auf n Elementen hat genau n! Elemente.22. Mai
Satz: Jede Permutation lässt sich als Produkt von endlich vielen disjunkten Zyklen schreiben, wobei die Zyklen eindeutig bestimmt sind. Satz: Jede Permutation lässt sich als Produkt von endlich vielen Transpositionen, die jeweils nur benachbarte Zahlen vertauschen. Definition der Parität (gerade/ungerade) ganzer Zahlen. Satz: Schreibt man eine Permutation pi als Produkt von k Transpositionen, so ist die Parität von k durch pi eindeutig bestimmt, und man definiert das Signum von pi also sgn(pi)=1 für k gerade und also sgn(pi)=-1 k ungerade; je nach Parität von k nennt man dann auch pi gerade oder ungerade. Satz: sgn als Abbildung der symmetrischen Gruppe auf {1,-1} ist ein Gruppenepimorphismus. Produktformel für sgn(pi). Definition der alternierenden Gruppe.24. Mai
Satz: Die alternierende Gruppe An ist ein Normalteiler der symmetrischen Gruppe Sn und die Faktorgruppe der symmetrischen Gruppe nach der alternierenden Gruppe ist die Gruppe mit 2 Elementen. Satz: Ist t eine Transposition, so ist Sn disjunkt zerlegt in An und (An)t; Multiplikation mit t ist eine Bijektion zwischen An und (An)t, welche beide n!/2 viele Elemente haben. Definition multilinearer (speziell: bilinearer) Abbildungen, speziell von Multilinear- und Bilinearformen. Satz: Die alpha-fach linearen Abbildungen bilden einen Vektorraum. Satz: Jede alpha-fach lineare Abbildung ist durch ihre Werte auf alpha-Tupeln von Basisvektoren eindeutig bestimmt. Angabe einer Standardbasis für Vektorräume multilinearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen sowie die zugehörige Dimensionsformel; bei multilinearen Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen ist die entsprechende Menge immernoch linear unabhängig, aber i.A. keine Basis mehr. Definition alternierender multilinearer Abbildungen. Satz: Die alpha-fach linearen alternierenden Abbildungen bilden einen Vektorraum. Satz zum Verhalten alternierender multilinearer Abbildungen bei Permutation der Argumente (in Körpern der Charakteristik ungleich 2 ist dieses Verhalten äquivalent zur Eigenschaft, alternierend zu sein).29. Mai
Definition der Determinante als K-wertige alpha-fach lineare alternierende Abbildung auf (K^alpha)^alpha, die auf der Standardbasis von K^alpha den Wert 1 hat. Definition des äßeren Produktes/Dachproduktes von Linearformen. Satz: Das Dachprodukt liefert alternierende Multilinearformen und stellt auch selbst eine alternierende multilineare Abbildung dar. Formel für die Determinante auf (K^alpha)^alpha. Angabe einer Standardbasis für Vektorräume alternierender multilinearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen sowie die zugehörige Dimensionsformel; bei alternierenden multilinearen Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen ist die entsprechende Menge immernoch linear unabhängig, aber i.A. keine Basis mehr. Satz: Der Wert einer alternierenden multilinearen Abbildung bleibt unverändert, wenn man zu einem Argument eine Linearkombination der anderen Argumente addiert. Satz: Werden die Argumente einer alternierenden multilinearen Abbildung gemäß einer Matrix X transformiert, so ist der Wert mit der Determinante von X zu multiplizieren. Kriterium dafür, dass der Wert einer alternierenden multilinearen Abbildung nicht Null ist.31. Mai
Definition der Determinantenfunktion auf quadratischen Matrizen (dies ist die einzige K-wertige Abbildung auf den quadratischen Matrizen, die multilinear und alternierend in den Zeilen ist und die Einheitsmatrix auf 1 abbildet). Formeln für Determinanten von (1x1)-, (2x2)- und (3x3)-Matrizen. Satz: Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1; die Determinante der Transponierten von A ist die Determinante von A; die Determinante ist Multilinear in Zeilen und Spalten; werden die Zeilen oder Spalten nach Permutation pi permutiert, so ist die Determinante mit sgn(pi) zu multiplizieren (bei Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten ändert sich das Vorzeichen); die Determinante ist Null genau dann, wenn Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, also genau dann, wenn die Matrix singulär ist. Determinantenmultiplikationssatz (speziell ist die Determinante der Inversen die Inverse der Determinante). Satz: Der Wert einer Determinante bleibt unverändert, wenn man zu einer Zeile (bzw. Spalte) eine Linearkombination der anderen Zeilen (bzw. Spalten) addiert. Kästchensatz für Blockmatrizen. Satz: Für Dreiecksmatrizen ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge. Definition von Untermatrizen, Kofaktoren und Minoren einer quadratischen Matrix.5. Juni
Lemma zur Berechnung der Kofaktoren. Satz: Ist B die Transponierte der Matrix der Kofaktoren von A, so ist AB=BA=(det A)Id; für det A nicht 0 ist det(B)=(det A)^(n-1) und die Inverse von A ist B/(det A). Laplacescher Entwicklungssatz nach Zeilen und nach Spalten. Cramersche Regel. Definition von Monomfunktionen und Polynomfunktionen in n Variablen sowie des Grades von solchen Funktionen. Definition von rationalen Funktionen in n Variablen. Satz: Die Determinante auf den (nxn)-Matrizen lässt sich als Polynomfunktion in n*n Variablen vom Grad n auffassen; jede Funktion, die einer invertierbaren (nxn)-Matrix einer Komponente ihrer Inversen zuordnet ist eine rationale Funktion in n*n Variablen, deren Nennerpolynom Grad n und deren Zählerpolynom Grad n-1 hat. Bemerkung: Da die symmetrische Gruppe n! viele Elemente hat, sollte man Determinanten sowie inverse Matrizen und Lösungen linearer Gleichungssysteme für n groß NICHT mit Hilfe der Definition von Determinanten berechnen, sondern lieber (z.B.) mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Formel für die Vandermondedeterminante. Definition der Determinante für lineare Endomorphismen sowie zugehörige Rechenregeln.7. Juni
Definition der Aussage 'V ist die direkte Summe einer Familie von Untervektorrämen'. Äquivalente Charakterisierungen der Ausssage 'V ist die direkte Summe einer Familie von Untervektorräumen'. Satz: Zu einer direkten Summe gehört eine disjunkte Zerlegung einer Basis (nämlich in Basen der Summanden), und zu jeder disjunkten Zerlegung einer Basis gehört eine direkte Summe (deren Summanden die Erzeugnisse der Teilmengen der Basis sind). Definition von Projektionen als Abbildungen P von V nach V mit PP=P. Dann sind die Identität und konstante Abbildungen immer Projektionen (Projektionen brauchen nicht linear sein). Beispiele für Projektionen. Satz: Ist V die direkte Summe einer Familie von Untervektorräumen, so liefert dies lineare Projektionen, deren Bilder genau diese Untervektorräume sind, deren Summe die Identität ist, und bei denen die Komposition je zwei verschiedener Projektionen die Nullabbildung liefert; umgekehrt ist für jede Familie von Projektionen mit diesen Eigenschaften der Vektorraum die direkte Summe der Bilder der Projektionen. Satz: Ist P lineare Projektion von V nach V, so ist Im P=ker(Id-P), ker P=Im(Id-P) und V die direkte Summe von ker P und Im P.12. Juni
Definition von Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum zu einem Eigenwert zu einem linearen Endomorphismus A, sowie des Spektrums von A. Der lineare Endomorphismus A heißt diagonalisierbar genau dann, wenn der Vektorraum V eine Basis hat, die aus Eigenvektoren von A besteht (ist V endlichdimensional, so wird dann A bezüglich dieser Basis durch eine Diagonalmatrix dargestellt, auf deren Diagonale genau die Eigenwerte von A stehen). Satz: l ist genau dann Eigenwert von A, wenn l*Id-A nicht injektiv ist, also genau dann, wenn der Kern von l*Id-A nicht trivial ist; alle Eigenräme sind Untervektorräme; Familien, die aus Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von A bestehen, sind linear unabhängig; A ist genau dann diagonalisierbar, wenn V direkte Summe der Eigenräme von A ist. Satz zur Spektralzerlegung eines diagonalisierbaren linearen Endomorphismus. Satz: Hat V die endliche Dimension n und hat A n verschiedene Eigenwerte, so ist A diagonalisierbar. Beispiel einer Abbildung, die über den reellen Zahlen keine Eigenwerte hat, aber über den komplexen Zahlen diagonalisierbar ist. Weitere Beispiele diagonalisierbarer und nicht diagonalisierbarer Abbildungen. Eine Menge U heißt A-invariant für eine Abbildung A genau dann, wenn A(U) Teilmenge von U ist. Satz: Ist A ein diagonalisierbarer linearer Endomorphismus auf V und U ein A-invarianter Untervektorraum von V, so ist auch die Einschränkung von A auf U diagonalisierbar.14. Juni
Satz: Endlich viele diagonalisierbare lineare Endomorphismen sind genau dann gleichzeitig diagonalisierbar, wenn sie paarweise vertauschen. Definition der charakterischen Polynomfunktion eines linearen Endomorphismus über einem endlichdimensionalen Vektorraum. Satz: Die Eigenwerte eines linearen Endomorphismus über einem endlichdimensionalen Vektorraum sind genau die Nullstellen der charakterischen Polynomfunktion. Satz: Gibt es eine Basis B so, dass die Matrix von A bezüglich B Dreiecksform hat, so sind die Eigenwerte von A genau die Diagonalelemente dieser Matrix. Satz: Jede normierte Polynomfunktion von Grad n ist charakterische Polynomfunktion eines geeigneten linearen Endomorphismus. Bemerkungen zur Bestimmung von Eigenwerten und zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomen.19. Juni
Definition von algebraischer und von geometrischer Vielfachheit eines Eigenwertes. Definition von einfachen und halbeinfachen Eigenwerten. Definition von verallgemeinerten Eigenräumen und von verallgemeinerten Eigenvektoren vom Rang k. Satz: Es ist 1 kleiner oder gleich der geometrischen Vielfachheit, diese ist kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit, und diese ist kleiner oder gleich der Dimension des Raumes. Satz: Die verallgemeinerten Eigenräume zu einer Abbildung A sind A-invariant. Satz: Ist A diagonalisierbar, so sind alle Eigenwerte von A halbeinfach. Satz: Hat V die Dimension n, so gibt es lineare Endomorphismen so, dass die Differenz aus algebraischer und geometrischer Vielfachheit zu einem Eigenwert maximal (also n-1) ist. Definition der Begriffe Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum etc. für quadratische Matrizen. Formel für Potenzen diagonalisierbarer Matrizen. Definition der Menge R[X] der Polynome über einem kommutativen Ring mit Eins, sowie von Addition, Skalarmultiplikation und Multiplikation auf dieser Menge. Definition von Monomen sowie von Koeffizienten von Polynomen sowie vom Grad eines Polynoms. Definition der Normiertheit eines Polynoms. Satz: Ist x in einem Ring mit Eins invertierbar, so ist x kein Nullteiler und auch die Bilder von x unter unitalen Ringhomomorphismen sind wieder invertierbar.21. Juni
Satz: Sind f,g Polynome, so ist der Grad von (f+g) kleiner oder gleich max(deg(f),deg(g)) und, wenn f+g nicht dass Nullpolynom ist, ist der Grad von (f+g) der größte Index, wo die Koeffizienten von f und g sich nicht zu Null addieren; der Grad von fg ist kleiner oder gleich der Summe deg(f)+deg(g) mit Gleichheit, wenn der Höchstkoeffizient von f oder g kein Nullteiler ist. Satz: Die Menge der Polynome über einem kommutativen Ring mit Eins bildet selbst einen kommutativen Ring mit Eins. Definition von Ringerweiterung und von Körpererweiterung. Beispiele: R[X] ist eine Ringerweiterung von R, der Ring der quadratischen Matrizen über R ist eine Ringerweiterung von R. Satz: Ist R nullteilerfrei, so ist die Gruppe der invertierbaren Elemente von R[X] gleich der Gruppe der invertierbaren Elemente von R. Definition von Einsetzungs-/Auswertungshomomorphismus (dieser ist unitaler und linearer Ringhomomorphismus). Definition von Nustelle/Wurzel eines Polynoms. Satz zur Polynominterpolation. Satz: Die Menge der Polynomfunktionen bildet einen kommutativen Ring mit Eins. Satz: Durch Einsetzen in Polynome bekommt man einen unitalen und linearen Ringepimorphismus von R[X] in den Ring der Polynomfunktionen. Dieser ist nicht injektiv, wenn R endlich ist, aber injektiv (und somit ein Isomorphismus), wenn R ein unendlicher Körper ist. Die Darstellung von von Polynomfunktionen über endlichen Ringen ist nicht eindeutig.26. Juni
Die Darstellung einer Polynomfunktion über einem Körper als Linearkombination von n Monomfunktionen ist genau dann eindeutig, wenn der Körper mindestens n+1 Elemente hat. Satz zur Division mit Rest in Polynomringen. Definition der Begriffe Integritätsring und euklidischer Ring. Beispiele für euklidische Ringe: Jeder Körper und jeder Polynomring über einem Körper sowie der Ring der ganzen Zahlen. Definition der Begriffe Ideal, Hauptideal, prinzipaler Ring, Hauptidealring. Ideale sind Unterringe, aber nichttriviale Ideale sind keine Ringe mit Eins. (0) und (1)=R sind Hauptideale; jeder Kern eines Ringhomomorphismus ist ein Hauptideal; die Summe zweier Ideale ist eine Ideal, der Durchschnitt einer beiiebigen nichtleeren Familie von Idealen ist eine Ideal, die Vereinigung einer aufsteigenden Familie von Idealen ist ein Ideal. Satz: Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. Beispiele: (0) und (1)=K sind die einzigen Ideale in einem Körper K; der Ring der ganzen Zahlen und jeder Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealring; Bilder von Ringhomomorphismen sind im Allgemeinen keine Ideale; Z/4Z ist prinzipal, aber kein Hauptidealring; der Polynomring über den ganzen Zahlen ist nicht prinzipal. Definition der Begriffe assoziierter Elemente in einem Integritätsring, Teiler, größter gemeinsamer Teiler, irreduzibel, reduzibel und prim in einem Integritätsring. Satz: In einem Integritätsring gelten: Größte gemeinsame Teiler sind assoziiert; Primelemente sind irreduzibel; wird die Summe der von endlich vielen Elementen erzeugten Ideale von d erzeugt, so ist d ein größter gemeinsamer Teiler der erzeugenden Elemente.28. Juni
Lemma von Bezout. Satz: In einem Hauptidealring ist ein Element prim genau dann, wenn es irreduzibel ist. Beispiele: Ein Körper hat weder Primelemente noch irreduzible Elemente; in den ganzen Zahlen ist p genau dann prim (und irreduzibel), wenn |p| Primzahl ist; Polynome vom Grad 1 sind im Integritätsring immer irreduzibel; X*X+1 ist im Polynomring über den reellen Zahlen irreduzibel. Beispiel eines Ringes mit irreduziblen Elementen, die nicht prim sind. Satz: In einem Hauptidealring ist jede Vereinigung aufsteigender Ideale bereits gleich einem der Ideale. Satz zur Existenz einer Primfaktorzerlegung in Hauptidealringen (in den ganzen Zahlen und in K[X] geht der Beweis auch ohne Zornsches Lemma). Satz zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Integritätsringen (eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit). Korollar: Jeder Hauptidealring ist faktoriell. Definition der Eigenschaft eines Körpers algebraisch abgeschlossen zu sein. Satz: Bei Division mit Rest von f aus R[X] durch X-s mit s aus R bleibt als Rest f(s), speziell f=(X-s)q, wenn s Nullstelle von f ist. Satz: Für einen Körper K sind äquivalent: (i) K ist algebraisch abgeschlossen (jedes Polynom f in K[X] von Grad mindestens 1 hat eine Nullstelle in K), (ii) jedes Polynom f in K[X] von Grad mindestens 1 zerfällt in Linearfaktoren; (iii) f in K[X] ist genau dann irreduzibel, wenn der Grad von f gleich 1 ist. Satz: f in K[X] mit deg(f)=n hat höchstens n Nullstellen; f lässt sich schreiben als Produkt der Linearfaktoren zu den Nullstellen von f mal einem Polynom ohne Nullstellen. Definition der Vielfachheit der Nullstelle eines Polynoms.3. Juli
Beispiele: Über den komplexen Zahlen zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, über den reellen Zahlen in irreduzible Faktoren von Grad 1 und 2. Definition und Konstruktion des Körpers der Brüche in einem Integritätsring. Beispiele: Für den Ring der ganzen Zahlen ergibt sich der Körper der rationalen Zahlen; für einen Polynomring über einem Integritätsring ergibt sich der Körper der rationalen Brüche. Definition des charakteristischen Polynoms eines linearen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes. Zusammenhang zwischen charakteristischem Polynom und charakteristischer Polynomfunktion. Satz: Das Spektrum eines linearen Endomorphismus ist genau die Menge der Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Satz: Der Grad eines charakteristischen Polynoms ist genau die Dimension des Vektorraumes und jedes normierte Polynom von positivem Grad tritt als charakteristisches Polynom auf. Satz: Ein linearer Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes hat genau dann eine Dreiecksmatrix bezüglich einer geeigneten Basis, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt (dies gilt immmer, wenn der Körper algebraisch abgeschlossen ist); und in diesem Fall kann die Basis so gewählt werden, dass die Eigenwerte blockweise auf der Diagonalen stehen; auch ist die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte genau die Vielfachheit der Eigenwerte als Nullstelle des charakteristischen Polynoms.5. Juli
Satz: Zu jedem linearen Endomorphismus A eines endlichdimensionalen Vektorraumes gibt es genau ein Minimalpolynom, also ein normiertes Polynom m so, dass m(A)=0 und m Teiler jedes Polynoms f mit f(A)=0. Definition von charakteristischem Polynom und Minimalpolynom auch für Matrizen. Satz von Cayley-Hamilton: A eingesetzt in sein charakteristisches Polynom ergibt Null; das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom; das Spektrum ist gleich der Nullstellenmenge des Minimalpolynoms; hat A genau dim(V) viele verschiedene Eigenwerte, so stimmen Minimalpolynom und charakteristisches Polynom überein. Satz: Das charakteristische Polynom teilt eine Potzenz des Minimalpolynoms und insbesondere haben beide Polynome die selben irreduziblen Faktoren. Satz: Ein linearer Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes hat genau dann eine Dreiecksmatrix bezüglich einer geeigneten Basis, wenn das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt. Satz: Ist das Minimalpolynom eines linearen Endomorphismus A eines endlichdimensionalen Vektorraumes V das Produkt von paarweise teilerfremden Polynomen g_1 bis g_l, so ist V die direkte Summe der Räume ker(g_i(A)).10. Juli
Satz: Ein linearer Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes ist genau dann diagonalisierbar, wenn sein Minimalpolynom in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Beispiele: Ein linearer Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes über den komplexen Zahlen, der m. Wurzel der Identität ist, ist diagonalisierbar; Minimalpolynome von Projektionen und von Involutionen. Satz: Ist A linearer Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes über den reellen Zahlen, so gibt es einen A-invarianten Unterraum der Dimension 1 oder 2 und eine geordnete Basis so, dass die Matrix von A Block-Dreiecksform hat mit Blöcken der Größe 1x1 oder 2x2 auf der Diagonalen. Definition der Begriffe A-zyklisch und A-irreduzibel. Satz: Ist V A-zyklsich und hat das Minimalpolynom von A den Grad r, so hat V die Dimension r und Minimalpolynom und charakteristisches Polynom von A sind identisch; ein erzeugender Vektor von A liefert eine Basis bezüglich der die Matrix eine Normalform hat. Satz: Sei U ein nichttrivialer A-invarianter Unterraum von V. Dann induziert A lineare Endomorphismen AU und AQ auf U und auf V/U; ist B eine geordnete Basis von V, in der zunächst eine geordnete Basis BU von U steht, so hat die Matrix M von A zu B Block-Dreiecksform, wobei der erste Diagonalblock die Matrix von AU zu BU ist und der zweite Diagonalblock die Matrix von AQ zu der von B auf V/U induzierten Basis ist; das charakteristische Polynom von A ist das Podukt des charakteristischen Polynoms von AU und des charakteristischen Polynoms von AQ; die Minimalpolynome von AU und von AQ teilen beide das Minimalpolynom von A. Satz: Ist V A-zyklsich und hat das Minimalpolynom von A die Form m=gh, so ist die Dimension vom Kern von h(A) gleich dem Grad von h; der Kern von h(A) ist gleich dem Bild von g(A); und jeder Eigenraum von A hat die Dimension 1.12. Juli
Satz: Ist A linearer Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes V, dessen Minimalpolynom eine Potenz eines irreduziblen Polynoms ist und U ein A-zyklischer Unterraum maximaler Dimension, so stimmen das Minimalpolynom von A und von A eingeschränkt auf U überein und U hat ein A-invariantes direktes Komplement. Satz: Wenn V A-irreduzibel ist, so ist V auch A-zyklisch, und wenn das Minimalpolynom von A eine Potenz eines irreduziblen Polynoms ist, so gilt auch die Umkehrung. Satz: V ist die direkte Summe von Unterräumen, die alle sowohl A-irreduzibel als auch A-zyklisch sind. Satz: Sei V die direkte Summe von Unterräumen U_i, die alle A-irreduzibel und A-zyklisch sind, so ist die Zerlegung eine Verfeinerung der direkten Summe der Räume ker(p_i(A)), die durch die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms m von A gegeben sind; für jeden irreduziblen Faktor g von m und jede Zahl k ist die Anzahl der Summanden U_i so, dass das Minimalpolynom von A eingeschränkt auf U_i das Polynom g^k ist, eindeutig durch A bestimmt.17. Juli
Satz zur Existenz und Eindeutigkeit einer allgemeinen Normalform für lineare Endomorphismen A auf endlichdimensionalen Vektorrämen; ist dabei das Minimalpolynom von A das Produkt der Faktoren gi^ri mit irreduziblen Polynomen gi so gibt es in der Normalform einen Block der Größe ri*deg(gi) und alle Blöcke zu gi haben höchstens diese Größe; im Allgemeinen ist die Normalform erst durch die Zahlen dim(Im(gi^s(A))) für alle i und s=1,...,ri bestimmt. Beispiele zur allgemeinen Normalform. Satz zur Jordanschen Normalform für lineare Endomorphismen A auf endlichdimensionalen Vektorrämen, deren Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt.19. Juli
Beispiele zur Jordanschen Normalform. Bemerkung: Die Basisvektoren der verallgemeinerten Eigenräume liefern die Spaltenvektoren einer Matrix, die die Matrix M des linearen Endomorphismus A in eine zugehörge Jordanmatrix N transformiert. Definition der Begriffe Skalarprodukt und induzierter Norm sowie Innenprodukt-/Prähilbertraum und Hilbertraum. Einfache Eigenschaften des Skalarproduktes. Definition der Orthogonalität von Vektoren sowie des zu einer Teilmenge orthogonalen Raumes, der orthogonalen Summe, sowie der Begriffe Orthogonalsystem, Einheitsvektor, Orthonormalsystem und Orthonormalbasis. Satz: Der Schnitt einer Menge mit ihrem orthogonalen Raum enthält höchstens den Nullvektor; der orthogonale Raum ist immer ein Vektorraum, der orthogonale Raum vom ganzen Raum ist der Nullraum und umgekehrt.24. Juli
Satz: Orthogonalsysteme, die nicht den Nullvektor enthalten, sind linear unabhängig. Satz von Pythagoras für Orthogonalsysteme. Satz zur Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. Definition von isometrischen linearen Isomorphismen und des Begriffs isometrisch isomorph. Satz: In einem endlichdimensionalen Raum ist ein Orthonormalsystem genau dann eine Orthonormalbasis, wenn es eine Vektorraumbasis ist; insbesondere gibt es dann immer eine Orthonormalbasis. Satz: Endlichdimensionale Vektorräume mit Skalarprodukt sind genau dann isometrisch isomorph, wenn sie die selbe Dimension haben. Satz: Ist U ein Untervektorraum eines endlichdimensionalen Vektorraumes X mit Skalarprodukt, so ist X die orthogonale Summe von U und dem orthogonalen Komplement von U und das orthogonale Komplement vom orthogonalen Komplement von U ist U. Rieszscher Darstellungssatz für endlichdimensionale Hilberträume: Jede Linearform wird durch Bildung des Skalarproduktes mit einem Vektor erzeugt und die Zuordnung ist bijektiv und konjugiert-linear. Definition und Eigenschaften der adjungierten Abbildung. Definition der adjungierten Matrix. Satz: Ist M die Matrix zu A bezüglich Orthonormalbasen, so ist die adjungierte Matrix von M die Matrix zur adjungierten Abbildung bezüglich der selben Basen. Satz: Die Determinante der adjungierten Abbildung ist das komplex-konjugierte der Determinante der Abbildung. Das charakteristische Polynom der adjungierten Abbildung bekommt man aus dem charakteristischen Polynom der Abbildung durch Komplex-Konjugieren der Koeffizienten; die Eigenwerte der adjungierten Abbildung sind die komplex-konjugierten Eigenwerte der Abbildung.26. Juli
Definition der orthogonalen Projektion. Satz: Zu jedem Vektor x ist die orthogonale Projektion von x auf einen Unterraum U die beste Approximation von x in U. Formel zur Berechnung der orthogonalen Projektion. Beispiel zur orthogonalen Projektion mit trigonometrischen Polynomen. Definition von normalen, hermiteschen/selbstadjungierten und unitären Abbildungen und Matrizen, speziell von symmetrischen und orthogonalen Abbildungen und Matrizen. Satz: Aus hermitesche folgt normal; aus unitär folgt normal. Satz: Die unitären Abbildungen (bzw. Matrizen) bilden eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Sind A,B hermitesch, so auch A+B und, falls sie existiert, auch die Inverse von A, sowie für AB=BA auch AB. Satz zu Äquivalenzen der Unitarität. Satz: Ist A normal und x ein Eigenvektor zum Eigenwert a, so ist x auch ein Eigenvektor der Adjungierten von zum Eigenwert a komplex-konjugiert; ist U ein A-invarianter Unterraum, so ist auch das orthogonale Komplement von U A-invariant und U ist auch (A^*)-invariant. Satz: Ist A normal, so gibt es zu A über den komplexen Zahlen eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren (speziell ist A diagonalisierbar); eine normale Matrix lässt sich durch eine unitäre Transformation auf Diagonalform bringen. Beispiel, das zeigt, dass der vorige Satz über den reellen Zahlen nicht gilt - über den reellen Zahlen gibt es unitäre Abbildungen/Matrizen, die nicht diagonalisierbar sind. Satz: Ist A hermitesch, so sind alle Eigenwerte von A reell. Ist A symmetrisch (und reell), so gibt es zu A über den reellen Zahlen eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren (speziell ist A diagonalisierbar); eine relle symmetrisch Matrix lässt sich durch eine orthogonale Transformation auf Diagonalform bringen.Send feedback concerning this page to
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Last update: Jul 26, 2019 Peter Philip.