Mathematisches Seminar: Perkolation
Zeit: Mo 18 – 20 Ort: A 248
Talks can also be given in English!
Kurzbeschreibung
Als Geburtsstunde der mathematischen Perkolationstheorie – kurz: Perkolation – gilt das Jahr 1957,
ihre Ursprünge in der physikalischen Literatur reichen jedoch fast 20 Jahre weiter zurück. Es geht um ein einfaches
mathematisches Modell, welches einen zufälligen Graphen (Netzwerk) über einer abzählbar unendlichen Knotenmenge beschreibt.
Dabei stellt die Kantenwahrscheinlichkeit p ∈ [0,1] für das Vorhandensein einer Kante zwischen 2 Knoten den wesentlichen Modellparameter dar.
Der Grund für den Anwendungsreichtum der Perkolation innerhalb der Mathematik, sowie in den Natur- und Sozialwissenschaften ist
folgendes Phänomen: für hinreichend kleine p enthält der zufällige Graph fast sicher nur endlich große
Zusammenhangskomponenten, sog. Cluster. Ab einer gewissen kritischen Wahrscheinlichkeit pc ändert
sich das Verhalten schlagartig. Für p > pc existiert zusätzlich ein unendlich großer Cluster,
der perkolierende Cluster.
Mathematisch gesehen erwiesen sich manch scheinbar einfache Fragestellungen der Perkolation als überaus tiefliegend und anspruchsvoll.
Zum Teil konnten sie erst nach Jahrzehnten beantwortet werden. Und auch heute noch stehen etliche wichtige Vermutungen unbewiesen im Raum.
Das Seminar soll eine Einführung in das aktive und moderne Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie geben.
Hörerkreis
Studierende der (Wirtschafts-) Mathematik oder Physik (Bachelor, Master, Lehramt), TMP-Master
Voraussetzungen
Stochastik, Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
Literatur
- G. Grimmett, Percolation, 2. Aufl., Springer, Berlin, 1999
- B. Bollobás, O. Riordan, Percolation, Cambridge University Press, Cambridge, 2006