Department Mathematik
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Sommersemester 2026

Gewöhnliche Differentialgleichungen
(Bachelor Mathematik, Lehramt Gymnasium)


Vorlesung:mittwochs, 14:15-15:55 Uhr, und freitags, 12:15-13:55 Uhr, jeweils im Hörsaal B 138
Globalübung: donnerstags 12:15-13:45 Uhr im Hörsaal B 138
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Übungsassistenten: Wiebke Bartolomaeus und Dr. Simon Weinzierl
Klausurtermin:Samstag, 25. Juli, 8:30-10:30 Uhr in den Hörsälen B 138, B 139 und C 123

Raumaufteilung
KlausurNachnameRaum
Gew DGLA-JB 138
Gew DGLK-PB 139
Gew DGLR-ZC 123
Mathe 4A-ZC 123
(Die Bezeichung „Mathe 4“ steht für die Vorlesung „Funktionentheorie, Lebesguetheorie, Gew. DGL“
in der Studienordnung von 2011 des gymnasialen Lehramtsstudiengangs.)

Hinweis:
Zur Klausur sind keine Hilfsmittel zugelassen, insbesondere keine handgeschriebenen Notizen.
Am Montag, dem 20. Juli, hat noch eine Fragestunde zur Klausur stattgefunden (Tafelanschrieb).

Nachklausurtermin: Montag, 5. Oktober, 16:30-18:30 Uhr
Vorlesungsskript: Stand 17. Juli, 124 Seiten (PDF)
Übungsblätter: Die Übungsaufgaben und Lösungen können im Moodle-Kurs heruntergeladen werden
Übungsgruppen: Die Anmeldungen zu den Tutorien unter Moodle werden nach der ersten Vorlesung freigeschaltet.
Vorlesungsverlauf: Die Aufnahmen der Vorlesung sind unter LMUCast abrufbar.
(Auf Grund von Störungen des WLANs ist die Besprechung von Blatt 1 leider nicht verfügbar.)
DatumInhaltSkript
15.04.26 DGLs in der Physik, Definition gewöhnlicher DGLs 1. Ordnung 3-4
17.04.26 DGLs in symmetrischer Form, Lösung von DGLs mit getrennten Var. 4-10
22.04.26 Eindeutigkeit von Lösungen einer DGL, lineare Differentialgleichungen 10-13
24.04.26 Lösung von DGLs durch Substitution, exakte Differentialgleichungen 13-19
29.04.26 integrierender Faktor, Systeme von DGLs höherer Ordnung 19-23
06.05.26 hinreichendes Kriterium für die Lipschitzbedingung, lokale Eindeutigkeit 23-28
08.05.26 Beweis des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes, relative Kompaktheit 28-30
13.05.26 Kriterien für die Maximalität von Lösungen 30-33
15.05.26 Gronwall-Lemma und Brouwerscher Fixpunktsatz 33-39
20.05.26 Beweis des Schauderschen Fixpunktsatzes 39-42
22.05.26 Gleichgradige Stetigkeit und Satz von Arzela-Ascoli 42-46
27.05.26 Existenzsatz von Peano (Beweisabschluss), Fundamentalsysteme 46-53
29.05.26 Wronski-Determinante, lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 53-60
03.06.26 Fundamentalsysteme im diag.-baren Fall, JNF und Matrixexponential 60-67
05.06.26 Lösung von DGLs durch das Matrixexponential, Anwendungsbeispiele 67-73
10.06.26 Lineare autonome Systeme der Größe 2 mit konstanten Koeffizienten 73-76
12.06.26 Lineare DGLs höherer Ordnung, d'Alembert'sche Reduktion 76-83
17.06.26 Variation der Konstanten für lineare DGLs höherer Ordnung 83-87
19.06.26 Lineare Systeme mit periodischen Koeffizienten (Floquet-Theorie) 87-91
24.06.26 Die Trajektorien autonomer Systeme von DGLs 91-94
26.06.26 Trajektorien zweidimensionaler Systeme, Hamiltonsche Systeme 94-99
01.07.26 Systeme in Polarkoordinaten, Grundbegriffe der Stabilitätstheorie 99-104
03.07.26 Stabilität linearer Systeme von Differentialgleichungen 104-108
08.07.26 Untersuchung des Stabilitätsverhaltens durch Linearisierung 108-112
10.07.26 Untersuchung der Stabilität mittels Lyapunov-Funktionen 112-115
15.07.26 Paramterabhängige Systeme von Differenzialgleichungen 115-119
17.07.26 Beweis der Stetigkeit des Flusses, Verzweigung von Ruhelagen 119-123
Inhalt: In der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen sucht man nach differenzierbaren Funktionen in einer Variablen, die zusammen mit ihren (höheren) Ableitungen bestimmte Gleichungen oder Gleichungs­systeme erfüllen. Zum Beispiel handelt es sich bei den Lösungen der DGL y' = y um Funktionen, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmen. Andere Beispiele für DGLs sind
y' = xy oder y'' + xy' = x2.
Angestoßen wurde die Entwicklung durch konkrete Fragestellungen aus der Physik. Im Laufe der letzten 300 Jahre erwiesen sich die DGLs als unverzichtbares Hilfsmittel für fast alle physikalischen Teildisziplinen, ange­fangen bei der Klassischen Mechanik über Elektromagnetismus und Thermodynamik bis hin zur Quantenme­chanik und Allgemeinen Relativitätstheorie. Aber auch für andere Ge­biete innerhalb der Mathematik, zum Bei­spiel für die Differentialgeometrie oder die Funktionalanalysis, sind die Ergebnisse aus der Theorie der gewöhnlichen (und auch der partiellen) DGLs von wesentlicher Bedeutung. Im Laufe der Vorlesung werden wir uns unter anderem mit den folgenden Themen befassen.
  • elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche DGLs
  • Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Randverhalten von Lösungen
  • lineare Systeme von DGLs (insbesondere solche mit konstanten und periodischen Koeffizienten)
  • Stabilität von Lösungen und Abhängigkeit von Parametern
  • Systeme von DGLs im Komplexen
Literatur:
  • B. Aulbach, Gewöhnliche Differenzialgleichungen. Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage.
  • H. Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Teubner, 6. Auflage.
  • W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag, 7. Auflage.

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