Sommersemester 2026

Gewöhnliche Differentialgleichungen

(Bachelor Mathematik, Lehramt Gymnasium)



Vorlesung:mittwochs, 14:15-15:55 Uhr, und freitags, 12:15-13:55 Uhr, jeweils im Hörsaal B 138
Globalübung:donnerstags 12:15-13:45 Uhr im Hörsaal B 138
Dozent:Dr. Ralf Gerkmann
Übungsassistenten: Wiebke Bartolomaeus und Dr. Simon Weinzierl
Klausurtermin:war am Samstag, den 25. Juli, 8:30-10:30 Uhr
Am Montag, den 20. Juli, hat noch eine Fragestunde zur Klausur stattgefunden (Tafelanschrieb).
Nachklausurtermin: Montag, 5. Oktober, 16:30-18:30 Uhr in den Hörsälen B 138, B 139 und C 123
Raumaufteilung

Name		Hörsaal
A-LC 123
M-SB 138
T-ZB 139
Vorlesungsskript: Endfassung, 124 Seiten (PDF)
(Aus der letzten Version wurden noch einige Schreibfehler entfernt.)
Übungsblätter: Die Übungsaufgaben und Lösungen können im Moodle-Kurs heruntergeladen werden
Vorlesungsverlauf: Die Aufnahmen der Vorlesung sind unter LMUCast abrufbar.
(Auf Grund von Störungen des WLANs ist die Besprechung von Blatt 1 leider nicht verfügbar.)

DatumInhaltSkript
15.04.26 DGLs in der Physik, Definition gewöhnlicher DGLs 1. Ordnung3-4
17.04.26DGLs in symmetrischer Form, Lösung von DGLs mit getrennten Var.4-10
22.04.26Eindeutigkeit von Lösungen einer DGL, lineare Differentialgleichungen10-13
24.04.26Lösung von DGLs durch Substitution, exakte Differentialgleichungen13-19
29.04.26integrierender Faktor, Systeme von DGLs höherer Ordnung19-23
06.05.26hinreichendes Kriterium für die Lipschitzbedingung, lokale Eindeutigkeit23-28
08.05.26Beweis des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes, relative Kompaktheit28-30
13.05.26Kriterien für die Maximalität von Lösungen30-33
15.05.26Gronwall-Lemma und Brouwerscher Fixpunktsatz33-39
20.05.26Beweis des Schauderschen Fixpunktsatzes 39-42
22.05.26Gleichgradige Stetigkeit und Satz von Arzela-Ascoli42-46
27.05.26Existenzsatz von Peano (Beweisabschluss), Fundamentalsysteme46-53
29.05.26Wronski-Determinante, lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten53-60
03.06.26Fundamentalsysteme im diag.-baren Fall, JNF und Matrixexponential60-67
05.06.26Lösung von DGLs durch das Matrixexponential, Anwendungsbeispiele67-73
10.06.26Lineare autonome Systeme der Größe 2 mit konstanten Koeffizienten73-76
12.06.26Lineare DGLs höherer Ordnung, d'Alembert'sche Reduktion 76-83
17.06.26Variation der Konstanten für lineare DGLs höherer Ordnung83-87
19.06.26Lineare Systeme mit periodischen Koeffizienten (Floquet-Theorie)87-91
24.06.26Die Trajektorien autonomer Systeme von DGLs91-94
26.06.26Trajektorien zweidimensionaler Systeme, Hamiltonsche Systeme94-99
01.07.26Systeme in Polarkoordinaten, Grundbegriffe der Stabilitätstheorie99-104
03.07.26Stabilität linearer Systeme von Differentialgleichungen104-108
08.07.26Untersuchung des Stabilitätsverhaltens durch Linearisierung108-112
10.07.26Untersuchung der Stabilität mittels Lyapunov-Funktionen 112-115
15.07.26Paramterabhängige Systeme von Differenzialgleichungen115-119
17.07.26Beweis der Stetigkeit des Flusses, Verzweigung von Ruhelagen119-123
Inhalt: In der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen sucht man nach differenzierbaren Funktionen in einer Variablen, die zusammen mit ihren (höheren) Ableitungen bestimmte Gleichungen oder Gleichungs­systeme erfüllen. Zum Beispiel handelt es sich bei den Lösungen der DGL y' = y um Funktionen, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmen. Andere Beispiele für DGLs sind
y' = xy oder y'' + xy' = x2.
Angestoßen wurde die Entwicklung durch konkrete Fragestellungen aus der Physik. Im Laufe der letzten 300 Jahre erwiesen sich die DGLs als unverzichtbares Hilfsmittel für fast alle physikalischen Teildisziplinen, ange­fangen bei der Klassischen Mechanik über Elektromagnetismus und Thermodynamik bis hin zur Quantenme­chanik und Allgemeinen Relativitätstheorie. Aber auch für andere Ge­biete innerhalb der Mathematik, zum Bei­spiel für die Differentialgeometrie oder die Funktionalanalysis, sind die Ergebnisse aus der Theorie der gewöhnlichen (und auch der partiellen) DGLs von wesentlicher Bedeutung. Im Laufe der Vorlesung werden wir uns unter anderem mit den folgenden Themen befassen.
  • elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche DGLs
  • Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Randverhalten von Lösungen
  • lineare Systeme von DGLs (insbesondere solche mit konstanten und periodischen Koeffizienten)
  • Stabilität von Lösungen und Abhängigkeit von Parametern
  • Systeme von DGLs im Komplexen
Literatur:
  • B. Aulbach, Gewöhnliche Differenzialgleichungen. Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage.
  • H. Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Teubner, 6. Auflage.
  • W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag, 7. Auflage.

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