Sommersemester 2026
Algebra und Zahlentheorie II
(Lehramt Gymnasium)
| Vorlesung: | montags, 10:15-11:55 Uhr, Hörsaal B 138 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Übung: | montags 8:15-9:45 Uhr im Hörsaal B 138 (An diesem Termin findet wöchentlich im Wechsel ein Tutorium und eine Zentralübung statt.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dozent: | Dr. Ralf Gerkmann | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Klausurtermin: | war am Dienstag, den 21. Juli, um 10:30-11:30 Uhr | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Nachklausurtermin: | Dienstag, 6. Oktober, 16:30-17:30 Uhr im Hörsaal B 138 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Vorlesungsskript: | Stand 29. Juni 2026, 277 Seiten (PDF) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Übungsblätter: | Die Aufgaben und Lösungen können demnächst unter Moodle heruntergeladen werden. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Vorlesungsverlauf: |
Die Aufzeichnungen der Vorlesung und Globalübung sind unter
LMUCast abrufbar.
verfügbar.)
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| Inhalt: |
Der Hauptgegenstand des zweiten Vorlesungsteils ist die Galoistheorie, in der zwei
Gebiete aus dem ersten Teil miteinander kombiniert werden, nämlich die Gruppen- und die
Körpertheorie. In dieser Theorie werden bestimmte Körpererweiterungen L|K
ausgezeichnet, denen man eine Gruppe Gal(L|K) zuordnet, die sogenannte
Galoisgruppe. Die zentrale Aussage lautet nun, dass die Zwischenkörper von
L|K in einer natürlichen eins-zu-eins Korrespondenz zu den Untergruppen von
Gal(L|K)stehen. Desweiteren lassen sich viele strukturelle Eigenschaften
der Zwischenkörper von L|K an der Galoisgruppe ablesen. Nach der Definition der Galois-Erweiterungen und der Galoisgruppen und dem Beweis des Hauptsatzes der Galoistheorie studieren wir mit Hilfe dieser neuen Konzepte zunächst einige spezielle Typen von Körpererweiterungen, unter anderem die sog. Kreisteilungskörper, die seit jeher in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle spielen. Im weiteren Verlauf betrachten wir dann konkrete Anwendungen der Galoistheorie. An erster Stelle steht hierbei die Lösung algebraischer Gleichungen, also die Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten „p-q-Formel“ für quadratische Gleichungen der Gestalt was Aussagen zur Nicht-Lösbarkeit solcher Gleichungen einschließt. Ein weiteres Thema ist die Anwendung der Galoistheorie auf die bereits aus der Antike bekannten geometrischen Konstruktionsprobleme wie etwa die (schon sprichwörtliche bekannte) „Quadratur des Kreises“ oder die Konstruktion regelmäßiger n-Ecke. |