Wintersemester 2026-27
Algebra und Zahlentheorie I
(Lehramt Gymnasium)
| Vorlesung: | montags, 10:15-11:55 Uhr, mittwochs, 8:15-9:55 Uhr und donnerstags, 12:15-13:55 Uhr, jeweils im Hörsaal B 138 | ||||||
| Globalübung: | dienstags 16:15-17:45 Uhr im Hörsaal B 138 Hinweis: In der ersten Woche finden noch keine Globalübung und keine Tutorien statt. | ||||||
| Dozent: | Dr. Ralf Gerkmann | ||||||
| Klausurtermin: | Donnerstag, 18. Februar 2027, 12:30-14:30 Uhr
(Hier stand zuerst ein falscher Termin.) |
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| Nachklausurtermin: | wird in Kürze hier bekanntgegeben | ||||||
| Vorlesungsskript: | Stand 12. Oktober, 65 Seiten (PDF) | ||||||
| Übungsblätter: | Die Übungsaufgaben und Lösungen können im Moodle-Kurs heruntergeladen werden | ||||||
| Übunsgruppen: | Die Anmeldung zu den Übungsgruppen erfolgt unter Moodle und wird demnächst freigeschaltet. | ||||||
| Vorlesungsverlauf: |
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| Inhalt: |
In nahezu jedem Teilgebiet der Mathematik tragen algebraische Strukturen zur Übersichtlichkeit bei
und helfen bei der Formulierung mathematischer Aussagen, der Beweisführung und der Beschreibung
von Verfahren. Dies beginnt bei der Lösung algebraischer Gleichungen und zahlentheoretischen
Fragestellungen, setzt sich fort bei der Klassifikation geometrischer Strukturen und topologischer
Räume und erstreckt sich selbst auf technisch weit fortgeschrittene Gebiete wie die Algebraische
Geometrie und die harmonische Analysis. Auch in an die Mathematik angrenzenden Fachbereichen wie
etwa der Informatik (in der Kryptographie und der Theorie der Programmiersprachen) oder der Physik
(in der Klassischen Mechanik, der Quantenmechanik, der Elementarteilchenphysik) spielen
algebraische Strukturen oft eine wichtige Rolle. Der Stoff der Vorlesung gliedert sich in drei Teilbereiche: die Gruppen-, Ring- und Körpertheorie. Die Bereiche unterscheiden sich, größtenteils bedingt durch die unterschiedlichen intendierten Anwendungen, stark in ihrem Aufbau. Einige zentrale Konzepte (zum Beispiel Homorphismen oder Faktorstrukturen) trifft man aber in allen drei Bereichen zugleich an. Beim Aufbau der Gruppentheorie orientieren wir uns unter anderem am sog. Klassifikationsproblem, bei dem wir vor allem durch die zuletzt behandelten Sylowsätze entscheidende Fortschritte erzielen werden. Bei der Ringtheorie stehen als Motivation die Probleme der Elementaren Zahlentheorie im Vordergrund. Im letzten Teil der Vorlesung befassen wir uns mit der Theorie der algebraischen Körpererweiterungen. Den krönenden Abschluss der Algebra wird die (im Sommersemester behandelte) Galoistheorie bilden, bei der die Gruppen- und die Körpertheorie miteinander verbunden werden. Im Einzelnen werden in der Vorlesung folgende Themen behandelt.
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| Literatur: |
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