Hyperbolische Geometrie und Konforme Dynamik

In dieser Vorlesung soll die hyperbolische Geometrie, holomorphe 
Dynamik und ihre engen Verbindungen dargestellt werden.
Konforme Dynamik umfasst die Iterationstheorie holomorpher Funktionen 
(in der komplexen Ebene oder auf der Riemann-Kugel) ebenso wie die 
Dynamik von Kleinschen Gruppen: Dies sind diskrete Untergruppen der 
Gruppe der M"obius-Transformationen auf der Riemann-Kugel. Zwischen 
beiden gibt es sehr enge Verbindungen, die im Rahmen des 
'Sullivan-Lexikons' untersucht werden.
Die Riemann-Kugel laesst sich als Rand des dreidimensionalen 
hyperbolischen Raumes H^3 verstehen, und jede M"obius-Transformation 
erweitert sich zu einer Isometrie von H^3. Der Quotient von H^3 nach 
dieser Gruppe liefert eine Mannigfaltigkeit mit hyperbolischer 
Geometrie. Eine interessante noch offene Frage ist, welche 
topologischen 3-Mannigfaltigkeiten eine solche hyperbolische 
Geometrie zulassen. Das Geometrisierungs-Programm von Thurston 
spricht die Vermutung aus, dass sich alle (kompakten) 
3-Mannigfaltigkeiten mit einer geometrischen Struktur versehen 
lassen; dazu werden 8 Geometrien gebraucht, von denen die 
hyperbolische die interessanteste ist.
Umgekehrt liefert die zweidimensionale hyperbolische Geometrie starke 
Werkzeuge zur Untersuchung konformer dynamischer Systeme. All diese 
Zusammenhaenge sollen in  der Vorlesung angesprochen werden.
Voraussetzungen: Funktionentheorie und Grundbegriffe der Topologie 
(Ueberlagerungen, Fundamentalgruppe)
Schein: ja
Literatur: Wird in der Vorlesung bekanntgegeben