Mathematisches Institut der LMU
Prof. Thomas Vogel
Vergleichsgeometrie/Comparison geometry
Seminar im Wintersemester 2017/18
Die Frage nach dem Zusammenhang zwischen Krümmungseigenschaften
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und ihrer Topologie ist eines der
klassischen Themen der Differentialgeometrie. Bekannte Sätze aus diesem Bereich sind zum Beispiel
- der Satz von Cartan-Hadamard:
Die universelle Überlagerung der vollstandigen Mannigfaltigkeit mit nichtpositiver Schnittkrümmung ist zusammenziehbar.
- der Satz von Myers:
Eine kompakte Mannigfaltigkeit mit positiver Riccikrümmung hat endliche Fundamentalgruppe.
In diesem Seminar sollen weitere Zusammenhänge zwischen Krümmung und Topologie besprochen werden. Zu den möglichen Themen gehören unter anderem
- Gradienten/Morsetheorie für Abstandsfunktionen
- Satz von Toponogov
- der Sphärensatz von Berger-Klingenberg:
Eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung 1 < K < 4 ist homöomorph zu einer Sphäre.
- Gromov's Bettizahlensatz: Dieses Theorem liefert zum Beispiel eine
Schranke an alle Bettizahlen einer Mannigfaltigkeit mit positiver
Schnittkrümmung.
- Der Spaltungssatz von Cheeger-Gromoll über kompakte Mannigfaltigkeiten mit nichtnegativer Riccikrümmung.
Literatur
- J. Cheeger, D. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geomtry
- W. Meyer: Toponogov's theorem and applications (lecture notes, available online )
- J.-H. Eschenburg: Comparis Theorems in Riemannian Geometry (lecture notes, available online)
Für:
Studenten der Mathematik mit Kenntnissen in Riemannscher Geometrie
(z.B. aus den Vorlesungen Riemannsche Geometrie oder Geometry of
Manifolds)
Language: You can give your talk in english if you prefer.
Anmeldung: per email an tvogel (at) math.lmu.de
Vorbesprechung: erster Termin im Semester, am 18. Oktober
Termin: Mittwoch, 10-12 Uhr
Raum: B251