Department Mathematik
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Analysis für Informatiker und Statistiker: Themenübersicht der Vorlesungen

2. November, 1. Vorlesung

Aussagen, Wahrheitswerte, Wahrheitstafeln und logische Operatoren (speziell: Negation, Konjunktion (logisches Und), Disjunktion (logisches Oder), Implikation, Äquivalenz). Beispiele für logisch verknüpfte Aussagen. Bestimmung von Wahrheitswerten. Satz vom ausgeschlossenen Dritten, Tautologien.

5. November, 2. Vorlesung

Regeln der Aussagenlogik: Kommutativität und Assoziativität von Konjunktion und Disjunktion, Distributivgesetze, Gesetze von De Morgan, Kontraposition, Transitivität von Implikation und Äquivalenz. Definition des Beweises. Definition der Menge nach Cantor, Elemente von Mengen, Gleichheit von Mengen, leere Menge. Definition von Teilmenge (Inklusion), Obermenge. Durchschnitt, Vereinigung, Differenz von Mengen, Komplement. Disjunktheit und disjunkte Vereinigung. Potenzmenge. Menge der natürlichen Zahlen. Regeln: Kommutativität und Assoziativität von Durchschnitt und Vereinigung, Distributivgesetze, Gesetze von De Morgan.

9. November, 3. Vorlesung

Universeller und existentieller Quantor. Universelle und existentielle Aussagen, Prädikate, eindeutige Existenz, Negation von universellen und existentiellen Aussagen (verallgemeinerte De Morgansche Gesetze). Gleiche benachbarte Quantoren darf man vertauschen, jedoch verschiedene benachbarte Quantoren im Allgemeinen nicht. Der "Quantor" der eindeutigen Existenz vertauscht im Allgemeinen weder mit dem Existenzquantor noch mit sich selbst. Beweisstrategien: Zum Beweis einer universellen Aussage reichen Beispiele NICHT, aber zum Beweis einer existentiellen Aussage reicht EIN Beispiel, zum Beweis, dass eine universelle Aussage falsch ist, reicht EIN Gegenbeispiel. Vereinigung und Durchschnitt beliebig vieler Mengen und Regeln dazu. Definition des geordneten Paares, des kartesischen Produktes, der Funktion (insbesondere: Definitionsbereich, Wertebereich, Zuordnungsvorschrift, Bild, Urbild, Graph). Definition von injektiv, surjektiv, bijektiv. Beispiele für Funktionen, Bild, Urbild, injektiv, surjektiv, bijektiv.

12. November, 4. Vorlesung

Definition von Identität, konstanter Abbildung. Definition von Inklusion/Einbettung, Einschränkung, Fortsetzung. Komposition/Hintereinanderausführung. Assoziativgesetz für Kompositionen, Urbildbildung für Kompositionen. Rechtsinverse, linksinverse, inverse Abbildung (Umkehrabbildung). Satz: Rechtsinvertierbar ist äquivalent zu surjektiv, linksinvertierbar ist äquivalent zu injektiv, invertierbar ist äquivalent zu bijektiv. Im bijektiven Fall sind die rechts- und linksinverse Abbildung eindeutig und gleich der inversen Abbildung. Kompositionen injektiver Abbildungen sind injektiv, Kompositionen surjektiver Abbildungen sind surjektiv, Kompositionen bijektiver Abbildungen sind bijektiv und es gilt, dass die Umkehrabbildung der Komposition g nach f die selbe Abbildung ist wie die Umkehrabbildung von f nach der Umkehrabbildung von g.

16. November, 5. Vorlesung

Definition der Familie. Definition der Folge. Definition des kartesischen Produktes einer Familie von Mengen (speziell: Menge der geordneten n-Tupel (n=3: Tripel)). Definition der charakteristischen Funktion einer Menge. Satz: Jedem Element der Potenzmenge wird bijektiv seine charakteristische Funktion zugeordnet (und dies rechtfertigt die Notation 2^A für die Potenzmenge von A). Definition von Relationen als Teilmengen des kartesichen Produktes AxB. Beispiele für Relationen: Gleichheitsrelation, die Relation Kleinergleich, Funktionen als Relationen, Relationen als Funktionen in die Potenzmenge von B. Eigenschaften von Relationen: reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv. Definition der Äquivalenzrelation. Zu jeder Äquivalenzrelation auf einer Menge korrespondiert eine disjunkte Zerlegung der Menge und umgekehrt. Definition von Partialordnung, totaler Ordnung und strenger Ordnung. Definition von unterer Schranke, oberer Schranke, Minimum, Maximum, Infimum, Supremum.

19. November, 6. Vorlesung

Satz: Minimum, Maximum, Infimum und Supremum sind alle eindeutig, sofern sie überhaupt existieren. Definition von (streng) isotonen/wachsenden/ordnungserhaltenden Funktionen, von (streng) antitonen/fallenden/ordnungsumkehrenden Funktionen sowie von (streng) monotonen Funktionen. Streng monotone Funktionen auf total geordneten Mengen sind injektiv. Ist f eine invertierbare und isotone (bzw. antitone) Funktion auf einer total geordneten Menge, so ist auch die Umkehrfunktion isoton (bzw. antiton). Beispiele für (streng) isotone und antitone Funktionen sowie eine nichtmonotone Funktion. Peanoaxiome, Prinzip der vollständigen Induktion: Beweis von Induktionsverankerung und Induktionsschritt beweist eine Aussage für alle natürlichen Zahlen. Endliche Induktion.

23. November, 7. Vorlesung

Rekursive Definition. Rekursionssatz: Existenz- und Eindeutigkeit von rekursiv definierten Funktionen. Beispiel: Fakultätsfunktion. Arithmetische Folge. Geometrische Folge, Fibonaccizahlen, Summationssymbol. Produktsymbol. Arithmetische Summen. Geometrische Summen. Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen. Definition von endlich, unendlich, abzählbar. Kardinalität von endlichen Mengen. Eine Funktion zwischen zwei endlichen Mengen mit gleich viel Elementen ist injektiv genau dann, wenn sie surjektiv ist, genau dann, wenn sie bijektiv ist. Teilmengen endlicher Mengen sind endlich. Ist B Teilmenge der endlichen Menge A, so ist #(A\B)=#A-#B.

26. November, 8. Vorlesung

Sind A,B endlich, so ist die Zahl der Elemente in A vereinigt B die Summe der Elemente in A und B minus die Elemente im Schnitt von A und B. Die Kardinalität des kartesischen Produktes von endlich vielen endlichen Mengen ist das Produkt der Kardinalitäten der Mengen. Hat die endliche Menge A genau n Elemente, so hat die Potenzmenge von A genau 2 hoch n Elemente. Logische Begründung des Widerspruchsbeweises. Es gibt keine surjektive Abbildung von einer Menge in ihre Potenzmenge. Jede nichtleere und endliche Teilmenge einer total geordneten Menge besitzt ein Maximum und ein Minimum. Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum. Jede Teilmenge der natürlichen Zahlen ist abzählbar. Eine nichtleere Menge ist genau dann abzählbar, wenn es eine injektive Abbildung von der Menge in die natürlichen Zahlen gibt und dies gilt genau dann, wenn es eine surjektive Abbildung von den natürlichen Zahlen in die Menge gibt. Das kartesiche Produkt von endlich vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar. Die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar. Definition der Vollständigkeit einer totalen Ordnung. Definiton der Gruppe und der kommutativen (abelschen) Gruppe. Definition des Körpers, des total geordneten Körpers und des vollständig total geordneten Körpers. Satz: Es gibt einen vollständig angeordneten Körper, genannt die Menge der reellen Zahlen. Ein vollständig angeordneter Körper ist bis auf Isomorphie eindeutig. Satz: Es gelten die üblichen Rechengesetze in den reellen Zahlen. Formeln für Supremum und Infimum für die Summe zweier und das Vielfache einer beschränkten Teilmenge der reellen Zahlen.

30. November, 9. Vorlesung

Wichtige Teilmengen der reellen Zahlen: Positive, nichtnegative, negative, nichtpositive, natürliche, ganze und rationale Zahlen. Beschränkte Intervalle: Offen, abgeschlossen, halboffen. Unbeschränkte Intervalle: Offen, abgeschlossen. Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen. Definition der komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen, Definition der komplexen Addition und Multiplikation. Satz: Die komplexen Zahlen bilden einen Körper (Angabe der neutralen Elemente und Formeln für die Inversen); insbesondere gelten alle Rechengesetze, die in jedem Körper gelten. Die reellen Zahlen sind in den komplexen Zahlen strukturverträglich eingebettet und werden mit den Paaren (x,0) identifiziert. i:=(0,1) heißt imaginäre Einheit. Definition von Realteil und Imaginärteil sowie von rein imaginären komplexen Zahlen. Satz: Es gibt keine mit Addition und Multiplikation verträgliche Totalordnung auf den komplexen Zahlen. Definition von und Rechenregeln für komplexe/r Konjugation. Definition von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Potenzgesetze. Definition der Quadratwurzel (Wurzel) nichtnegativer reeller Zahlen. Vorzeichenfunktion (Signumfunktion) reeller Zahlen, Definition der Betragsfunktion komplexer Zahlen.

3. Dezember, 10. Vorlesung

Rechenregeln der Betragsfunktion, speziell Dreiecksungleichung und umgekehrte Dreiecksungleichung. Veranschaulichung der komplexen Zahlen und ihrer Arithmetik (speziell von Konjugation, Addition, Multiplikation und Betrag) in der komplexen Ebene. Regeln für endliche Summen und Produkte, insbesondere Dreiecksungleichung für endlich viele Summanden. Pascalsches Dreieck. Definition der Binomialkoeffizienten. Additionstheorem der Binomialkoeffizienten. Binomischer Lehrsatz.

7. Dezember, 11. Vorlesung

Weitere Formeln für Binomialkoeffizienten, insbesondere Interpretation von n über k als die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von {1,...,n}. Arithmetik reell- und komplexwertiger Funktionen: Summe, Vielfache, Produkt, Quotient, Absolutbetrag. Nur für reellwertige Funktionen: Maximum, Minimum, positiver Anteil, negativer Anteil. Monome und Polynome. Grad von Polynomen. Spezielle Polynome: konstante, affine und quadratische Funktionen. Nullstellen (Wurzeln) von Polynomen. Rationale Funktionen. Vielfache, Summen und Produkte von Polynomen sind wieder Polynome. deg(P+Q)<=deg(P), deg(P+Q)<=deg(Q), deg(PQ)=deg(P)+deg(Q). Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Stimmen Polynome P,Q vom Grad höchstens n an n+1 verschiedenen Stellen überein, so gilt P=Q. Es gilt P=Q genau dann, wenn alle Koeffizienten von P und Q gleich sind. Vielfachheit von Nullstellen.

10. Dezember, 12. Vorlesung

Definition von Konvergenz von rellen und komplexen Folgen und der Begriff des Grenzwertes/Limes. Definition von Divergenz. Beispiele konvergenter und divergenter Folgen. Eine komplexe Folge konvergiert genau dann, wenn ihr Realteil und Imaginärteil konvergieren. Bernoullische Ungleichung. Definition der Epsilon-Umgebung sowie der Umgebung. Eine Aussage gilt per Definition für fast alle n, wenn sie für alle bis auf endlich viele n gilt. Beschränktheit von Folgen. Grenzwerte sind eindeutig. Konvergente Folgen sind beschränkt. Nullfolgen sind solche, die gegen Null konvergieren. Eine durch eine Nullfolge beschränkte Folge ist selbst eine Nullfolge. Das Produkt aus einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge.

14. Dezember, 13. Vorlesung

Grenzwertsätze: Eine mit dem Faktor a multiplizierte konvergente Folge mit Grenzwert z konvergiert gegen az. Die Summe zweier (bzw. endlich vieler) konvergenter Folgen konvergiert gegen die Summe der Grenzwerte. Grenzwertsätze: Das Produkt zweier (bzw. endlich vieler) konvergenter Folgen konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte. Der Quotient zweier konvergenter Folgen konvergiert gegen den Quotienten der Grenzwerte, sofern alle Nenner ungleich Null sind. Der Betrag einer konvergenten Folge konvergiert gegen den Betrag des Grenzwertes. Die komplex konjugierten einer konvergenten Folge konvergieren gegen das komplex konjugierte des Grenzwertes. Die p-te Potenz einer konvergenten Folge konvergiert gegen die p-te Potenz des Grenzwertes. Das Maximum (bzw. Minimum) zweier konvergenter reeller Folgen konvergiert gegen das Maximum (bzw. Minimum) der Grenzwerte. Lässt sich eine konvergente reelle Folge durch eine andere konvergente relle Folge abschätzen, so lassen sich die Grenzwerte in der selben Weise abschätzen (echte Ungleichungen können dabei allerdings zu Gleichungen werden). Einschachtelungssatz: Lässt sich eine relle Folge durch zwei konvergente relle Folgen mit gleichem Grenzwert einschachteln, so ist sie auch konvergent mit dem selben Grenzwert. Definition der bestimmten Divergenz gegen plus oder minus Unendlich. Eine monoton steigende Folge konvergiert oder divergiert bestimmt gegen plus Unendlich; eine monoton fallende Folge konvergiert oder divergiert bestimmt gegen minus Unendlich. Definition von Teilfolge und Umordnung einer Folge. Jede Teilfolge und jede Umordnung einer konvergenten Folge ist konvergent mit dem selben Limes. Definition des Begriffes des Häufungspunktes einer Folge. Satz: Eine reelle oder komplexe Zahl z ist genau dann Häufungspunkt einer Folge, wenn die Folge eine gegen z konvergente Teilfolge besitzt.

17. Dezember, 14. Vorlesung

Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt und für reelle Folgen hat die Menge aller Häufungspunkte der Folge ein Maximum und ein Minimum. Definition des Begriffes der Cauchyfolge. Satz: Eine Folge in den reellen oder komplexen Zahlen ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn sie konvergent ist. Anwendung von Cauchyfolgen: Die harmonische Reihe ist nicht konvergent. Definition der Stetigkeit von Funktionen, die auf Teilmengen der komplexen (oder reellen) Zahlen definiert sind und in die reellen oder komplexen Zahlen abbilden. Beispiele: Konstante und affine Funktionen sind stetig. Beispiel: Die Signumfunktion ist (in Null) nicht stetig. Definition des Begriffes des Häufungspunktes und des isolierten Punktes einer Teilmenge der reellen Zahlen. Satz: Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist die disjunkte Vereinigung ihrer Häufungspunkte und ihrer isolierten Punkte. Lemma: In einem isolierten Punkt ist jede Funktion stetig. Folgenkriterium für Stetigkeit. Satz: Sind zwei Funktionen stetig, so auch Vielfache, die Summe, das Produkt, der Quotient, falls der Nenner nicht Null ist, der Betrag der Funktion sowie der Realteil und der Imaginärteil der Funktion (Korollar: eine komplexwertige Funktion ist genau dann stetig, wenn ihr Realteil und ihr Imaginärteil beide stetig sind). Bei reellwertigen stetigen Funktionen sind weiterhin das Maximum, das Minimum, der positive und der negative Anteil stetig.

21. Dezember, 15. Vorlesung

Die Betragsfunktion, Polynome und rationale Funktionen sind stetig, sofern der Nenner nicht Null ist. Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig. Definition von beschränkten, abgeschlossenen und kompakten Teilmengen der komplexen Zahlen. Beschränkte Intervalle sind beschränkt, abgeschlossene Intervalle sind abgeschlossen. Offene und halboffene Intervalle sind nicht abgeschlossen. Nur Intervalle der Form [a,b] sind kompakt. Epsilon-Umgebungen sind beschränkt, aber nicht abgeschlossen. Endliche Vereinigungen und beliebige Durchschnitte erhalten Beschränktheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit. Endliche Mengen sind kompakt. Urbilder von abgeschlossenen Mengen unter stetigen Abbildungen sind abgeschlossen. Abgeschlossene Kreisscheiben und Kreise sind kompakt. Halbräume in den komplexen Zahlen sind abgeschlossen. Eine Teilmenge K der komplexen Zahlen ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in K eine in K konvergente Teilfolge hat. Satz: Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Definition globaler und lokaler Extrema ((strenge) Minima und Maxima). Kompakte Teilmengen der reellen Zahlen haben ein größtes und ein kleinstes Element. Satz: Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen nehmen ihr (globales) Maximum und Minimum an. Nullstellensatz von Bolzano, Zwischenwertsatz. Stetige Funktionen bilden Intervalle auf Intervalle ab.

Keine Lehrveranstaltungen vom 24. Dezember bis 6. Januar

7. Januar, 16. Vorlesung

Satz: Jede streng monotone Funktion f auf einem Intervall I hat eine auf f(I) definierte STETIGE Umkehrfunktion, die im gleichen Sinne wie f streng monoton ist; ist f stetig, so ist auch f(I) ein Intervall. Definition der n.ten Wurzel einer nichtnegativen Zahl. Diese ist stetig und streng monoton steigend. Wurzel aus 2 ist nicht rational. Nicht rationale Zahlen heißen irrational. Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar; die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht abzählbar. AGM-Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel. Anwendung der AGM-Ungleichung: Definition und Berechnungsmethode für die Eulersche Zahl e. Definition der Dichtheit einer Menge in den reellen Zahlen. Satz: Die rationalen Zahlen sind dicht in den reellen Zahlen; die irrationalen Zahlen sind ebenfalls dicht. Jede reelle Zahl ist der Grenzwert einer streng steigenden Folge rationaler Zahlen und einer streng fallenden Folge rationaler Zahlen.

11. Januar, 17. Vorlesung

Definition von Potenzen mit nichtnegativer Basis und rationalen Exponenten; dazu Potenzgesetze, Monotoniegesetze und Abschätzungen. Definition von Potenzen mit nichtnegativer Basis und reellen Exponenten; dazu Potenzgesetze, Monotoniegesetze und Abschätzungen. Definition von allgemeinen Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen. Potenzfunktionen sind auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig, sowie streng steigend für positiven und streng fallend für negativen Exponenten. Exponentialfunktionen sind stetig sowie streng steigend für Basis a>1 und streng fallend für Basis 0 < a < 1. Definition des Logarithmus, speziell des natürlichen Logarithmus, Logarithmengesetze. Definition von (unendlichen) Reihen sowie von Summanden, Partialsummen und Resten von solchen Reihen. Definition von Konvergenz und Divergenz von Reihen. Geometrische Reihe und harmonische Reihe. Linearität, komplexe Konjugation und Monotonie bei der Reihenkonvergenz. Bei konvergenten Reihen konvergieren die Summanden gegen Null, die Restreihen sind auch konvergent und ihre Summen konvergieren gegen Null.

14. Januar, 18. Vorlesung

Die Summe einer Reihe mit nichtnegativen Summanden ist das Supremum der Partialsummen, wenn diese beschränkt sind und andernfalls unendlich. Eine beliebige Reihe ist konvergent, wenn sich die Beträge ihrer Summanden nach oben durch die Summanden einer konvergenten Reihe abschätzen lassen; eine Reihe mit nichtnegativen Summanden ist divergent, wenn sich ihre Summanden nach unten durch die Summanden einer divergenten Reihe mit ebenfalls nichtnegativen Summanden abschätzen lassen. Definition von alternierenden Reihen, Leibnizkriterium mit Fehlerabschätzung für die Konvergenz von alternierende Reihen. Definition der absoluten Konvergenz von Reihen. Satz: Absolut konvergente Reihen sind konvergent, und es gilt die Dreiecksungleichung für unendliche Reihen. Wurzelkriterium und Quotientenkriterium jeweils für absolute Konvergenz bzw. für Divergenz. Umordnungssatz und großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen: Bei absolut konvergenten Reihen bleibt die Summe bei beliebiger Umordnung der Summanden gleich; ebenso, wenn man die Indexmenge der Summanden beliebig zerlegt, zunächst die Summen über die Teilmengen bildet und diese dann aufsummiert. Anwendung des großen Umordnungssatzes auf die Berechnung von absolut konvergenten Doppelreihen, speziell auf die Berechnung des Produktes zweier absolut konvergenter Reihen als Cauchyprodukt. Definition von b-adischen Reihen und b-adischen Darstellungen reeller Zahlen. Satz: Zu jedem b hat jede reelle Zahl genau eine oder genau zwei b-adische Darstellungen, wobei im letzteren Fall bei einer der Darstellungen fast alle Ziffern 0 und bei der anderen Darstellung fast alle Ziffern b-1 sind.

18. Januar, 19. Vorlesung

Definition der punktweisen und der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenfolgen bestehend aus reell- oder komplexwertigen Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz, aber nicht umgekehrt. Satz: Konvergieren stetige Funktionen gleichmäßig, so ist die Grenzfunktion ebenfalls stetig. Aus den obigen Funktionenfolgen werden Funktionenreihen als Folgen der Partialsummen definiert. Speziell: Definition von Potenzreihen. Definition der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen (man spricht von Reihenentwicklung bzw. Potenzreihenentwicklung der Grenzfunktion). Satz: Eine Funktionenreihe konvergiert gleichmäßig genau dann, wenn die Restreihen gleichmäßig gegen Null konvergieren. Wird eine Funktionenreihe absolut und gleichmäßig durch eine konvergente Reihe reeller Zahlen majorisiert, so konvergiert sie gleichmäßig. Konvergiert eine Funktionenreihe stetiger Funktionen gleichmäßig, so ist die Grenzfunktion stetig. Definition des Konvergenzradius und Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius von Potenzreihen. Potenzreihen sind auf auf dem offenen r-Kreis um Null stetig, wenn r der Konvergenzradius ist. Cauchyprodukt von Potenzreihen. Definition der komplexen Exponentialfunktion als Potenzreihe. Charakterisierung von (reellen) Exponentialfunktionen als stetige Funktionen mit E(1)>0 und E(x)E(y)=E(x+y). Satz: Die komplexe Exponentialfunktion ist stetig und stimmt auf den reellen Zahlen mit der früher definierten Exponentialfunktion überein.

21. Januar, 20. Vorlesung

Definition des Limes einer reell- oder komplexwertigen Funktion. Wichtige Grenzwerte mit exp und ln. Gleichheit der Grenzwert- und der Reihendarstellung der eulerschen Zahl. Definition von Potenzen mit positiver Basis und komplexen Exponenten, dazu Potenzgesetze und Stetigkeit der nun allgemeineren Potenz- und Exponentialfunktionen. Definition von Sinus und Cosinus als Potenzreihen, Definition von Pi als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Cosinus. Trigonometrische Identitäten (insbesondere Additionstheoreme) für Sinus und Cosinus, Stetigkeit, Periodizität von Sinus und Cosinus. Wertebereich und Monotonieintervalle von Sinus und Cosinus. Eulersche Formel (Beziehung im Komplexen zwischen der Exponentialfunktion und Sinus und Cosinus). Satz: Die Exponentialfunktion hat keine (komplexen) Nullstellen. Angabe der Nullstellen von Sinus und Cosinus (sie sind alle reell). Angabe aller komplexen Lösungen der Gleichung exp(z)=1. Definition von Tangens und Cotangens. Stetigkeit, Periodizität, Wertebereich und Monotonieintervalle von Tangens und Cotangens. Definiton der (Hauptwerte) von Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens und Arcuscotangens als Umkehrfunktionen der entsprechenden Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens auf entsprechenden Monotonieintervallen. Stetigkeit und Monotonie der Arcusfunktionen.

25. Januar, 21. Vorlesung

Polarkoordinaten komplexer Zahlen (Betrag,Argument). Argument ist eindeutig bis auf Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2*Pi. Darstellung in der komplexen Ebene. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten. Definition und Existenz der n. Einheitswurzeln. Fundamentalsatz der Algebra mit Korollar: Jedes (komplexe oder reelle) Polynom vom Grad n >=1 hat genau n (i. A. komplexe) Nullstellen (diese müssen nicht notwendig verschieden sein und mehrfache Nullstellen sind dabei entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt). Definition von Differenzenquotienten, Differenzierbarkeit und Ableitung für reell- und für komplexwertige Funktionen. Definition der Tangente an den Funktionsgraphen für reellwertige Funktionen. Eine komplexwertige Funktion ist genau dann differenzierbar, wenn ihr Realteil und ihr Imaginärteil differenzierbar sind. Satz: Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit. Ableitung von konstanten und affinen Funktionen. Ableitung von konstanten und affinen Funktionen, von der Exponentialfunktion sowie von Sinus und Cosinus. Ableitungsregeln: Ableiten ist linear, Produktregel, Quotientenregel. Ableitungen von Polynomen, rationalen Funktionen, Tangens, Cotangens.

28. Januar, 22. Vorlesung

Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Ableitung des (natürlichen) Logarithmus sowie von Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens, Arcuscotangens. Kettenregel. Ableitung von Potenzfunktionen. Rekursive Definition von Ableitungen höherer Ordnung. Definition der Mengen C^k, der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen sowie der Menge C^unendlich, der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Beispiele: Sinus und Polynome sind unendlich oft differenzierbar. Beispiel einer Funktion, deren Ableitung nicht stetig ist. Satz: Ist eine Funktion in einem lokalen Extremum differenzierbar, so verschwindet dort die Ableitung, die Umkehrung gilt jedoch nicht. Satz von Rolle. Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Satz über den Zusammenhang des Vorzeichens der Ableitung mit der Monotonie einer differenzierbaren Funktion. Hinreichende Bedingungen für die Existenz von Maxima und Minima bei differenzierbaren Funktionen. Beispiel zur Extremabestimmung.

1. Februar, 23. Vorlesung

Regel von de l'Hospital. Beispiele zur Grenzwertbestimmung mit der Regel von de l'Hospital. Beispiel, dass die Anwendung der Regel nicht in jedem Fall zum Ziel führt. Definition von beschränkten Funktionen. Definition der Länge eines Intervalls. Definition der Zerlegung eines Intervalls, der Knotenmenge, von Zwischenpunkten und des Feinheitsmaßes einer Zerlegung. Definition der Riemannschen Unter- und Obersumme. Definition der Riemannschen Zwischensumme. Unteres und oberes Riemannintegral. Riemannintegrierbarkeit und Riemannintegral.

4. Februar, 24. Vorlesung

Das Integral ist linear und monoton. Integration über Teilintervalle. Dreiecksungleichung für Integrale, Mittelwertsatz der Integralrechnung. Integrabilitätskriterium. Stetige und monotone Funktionen sind integrierbar. Definition der Lipschitzstetigkeit. Lipschitzstetigkeit impliziert Stetigkeit, aber nicht umgekehrt. Die Verkettung einer integrierbaren Funktion mit einer lipschitzstetigen Funktion ist integrierbar. Ist f integrierbar, so auch der Betrag, das Quadrat und der positive und negative Anteil von f. Produkte, Maxima und Minima integrierbarer Funktionen sind integrierbar. Quotienten auch, wenn der Nenner von Null weg beschränkt ist. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Partielle Integration. Substitutionsformel.

8. Februar

Keine Vorlesung.

11. Februar

Abschlusspr├╝fung.
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Last update: Dec 26, 2020 Peter Philip.