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Analysis II für Statistiker: Themenübersicht der Vorlesungen

3. Mai

Euklidischer Raum R^n (Addition, Skalarmultiplikation, Skalarprodukt, euklidische Norm, euklidischer Abstand, Ungleichnungen, Intervalle). Konvergenz und Cauchyfolgen im R^n.

5. Mai

Folge ist genau dann in R^n konvergent bzw. Cauchy, wenn all ihre Koordinatenfolgen im reellen konvergent bzw. Cauchy sind. Beschränkte Folgen im R^n. Teilfolgen und Umordnungen konvergenter Folgen im R^n konvergieren, konvergente Folgen sind beschränkt. Der Limes ist eindeutig. Grenzwertsätze. Folge in R^n ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchy ist. Satz von Bolzano-Weierstraß. Metrik, metrischer Raum, Norm, normierter Raum.

10. Mai

Induzierte Metrik. Umgekehrte Dreiecksungleichung, Beispiele für Metriken und Normen (z. B. Supremumsnorm auf der Menge der beschränkten reellwertigen Funktionen auf einer Menge S). Metrische Begriffe werden auf normierten R&auuml;men bezüglich der induzierten Metrik interpretiert. Offene und abgeschlossene Kugel, Sphäre, innerer Punkt, Randpunkt, Häufungspunkt, isolierter Punkt einer Menge. Das Innere, der Rand und der Abschluss einer Menge. Offene und abgeschlossene Mengen. Offene Kugeln sind offen, abgeschlossene Kugeln sind abgeschlossen. Die leere Menge und der ganze Raum sind offen und abgeschlossen. Punkte sind abgeschlossen.

12. Mai

Beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen. Beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Disjunkte Zerlegung von X in das Innere von A, den Rand von A und das Innere des Komplementes von A. Der Rand von A ist abgeschlossen. Das Innere von A ist die größte offene Teilmenge von A; der Abschluss von A ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von A. Begriff des Durchmessers und der Beschränktheit einer Menge. Endliche Mengen und endliche Vereinigungen von beschränkten Mengen sind beschränkt. Folgen in metrischen Räumen: Beschränktheit, Konvergenz, Divergenz, Cauchyfolge, Häufungspunkt. Grenzwerte sind eindeutig, konvergente Folgen sind beschränkt. Teilfolgen und Umordnungen konvergenter Folgen konvergieren gegen den selben Grenzwert wie die Ausgangsfolge. Ein Punkt x ist genau dann Häufungspunkt einer Folge, wenn die Folge eine Teilfolge besitzt, die gegen x konvergiert. Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen.

17. Mai

Beispiel einer nicht-konvergenten Cauchyfolge. Stetigkeit von Metrik und Norm. Definition des vollständigen metrischen Raumes und des Banachraumes. Der Abschluss einer Menge A ist identisch mit der Menge der Grenzwerte von konvergenten Folgen in A. Weiterhin ist A genau dann abgeschlossen, wenn A gleich seinem Abschluss ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn A alle seine Häufungspunkte enthält. Offene Intervalle in R^n sind offen, abgeschlossene Intervalle in R^n sind abgeschlossen.

19. Mai

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen zwischen metrischen Räumen. Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitzstetigkeit von Funktionen zwischen metrischen Räumen. Lipschitzstetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit und diese impliziert Stetigkeit; die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht. Normen sind lipschitzstetig. Eine Funktion ist stetig genau dann, wenn alle Urbilder offener Mengen offen sind und auch genau dann, wenn alle Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Folgenkriterium für Funktionengrenzwerte und Stetigkeit.

24. Mai

Konstante Funktionen sind stetig, Projektionen auf reelle Koordinaten sind stetig, Funktionen nach R^n sind genau dann stetig, wenn alle Koordinatenfunktionen stetig sind. Sind zwei Funktionen stetig, so ist auch die Summe, das Produkt, der Quotient (wo der Nenner nicht verschwindet), das Maximum und das Minimum stetig. Ist eine Funktion stetig, so auch skalare Vielfache, positiver und negativer Anteil und der Absolutbetrag. Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig. Lineare Funktionen von R^n nach R^m sind stetig. Polynome sind stetig, rationale Funktionen sind stetig in Punkten, wo das Nennerpolynom nicht verschwindet.

26. Mai

Lineare Abbildungen sind genau dann lipschitzstetig wenn sie stetig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn sie in einem Punkt stetig sind. Beispiele für unstetige lineare Abbildungen. Komponetenweise Stetigkeit. Stetigkeit impliziert komponentenweise Stetigkeit, jedoch nicht umgekehrt. Konvexe, streng konvexe, konkave und streng konkave Funktionen: Definition mittels Sekantenkriterium. f ist konkav genau dann, wenn -f konvex ist.

31. Mai

Ableitungsfreie Konvexitätskriterien und Konkavitätskriterien. Konvexitäts- und Konkavitätskriterien mit erster und zweiter Ableitung. Jensensche Ungleichung.

2. Juni

Keine Vorlesung wegen des Feiertags.

7. Juni

Ungleichung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel. p-Norm auf R^n für p>=1, Höldersche Ungleichung, Minkowskische Ungleichung. Definition und elementare Eigenschaften des Skalarprodukts. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Induzierte Norm eines Skalarproduktes. Prähilbertraum, Hilbertraum.

9. Juni

Das euklidische Skalarprodukt auf R^n erfüllt tatsächlich die Eingenschaften eines Skalarproduktes, erzeugt die euklidische Norm und macht R^n zum Hilbertraum. Orthogonalität im Prähilbertraum: Orthogonalsystem, Orthonormalsystem, Satz von Pythagoras. Äquivalenz von Metriken, Äquivalenz von Normen. Normen auf einem reellen Vektorraum sind genau dann äquivalent, wenn die induzierten Metriken äquivalent sind. Alle Normen auf R^n sind äquivalent. Sind zwei Metriken äquivalent, so konvergieren Folgen bezüglich der einen Metrik genau dann, wenn sie bezüglich der anderen Metrik konvergieren. Beispiel für nichtäquivalente Normen auf einem Folgenraum.

14. Juni

Keine Vorlesung, da am Pfingstdienstag kein Lehrbetrieb an der LMU.

16. Juni

Begriff der partiellen Ableitung und Begriff des Gradienten. Die Existenz aller partiellen Ableitungen von f impliziert NICHT die Stetigkeit von f. Die Existenz aller partiellen Ableitungen von f in einer offenen Menge und deren STETIGKEIT in einem Punkt der Menge impliziert die Stetigkeit von f in diesem Punkt. Jacobimatrix und Jacobideterminante. Ist eine lineare Abbildung durch die Matrix A gegeben, so ist A auch die Jacobimatrix der Abbildung.

21. Juni

Das Bilden von partiellen Ableitungen, Gradienten und Jacobimatrizen ist linear. Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Im Allgemeinen darf man die Anwendung verschiedener partieller Ableitungen nicht vertauschen. Zweidimensionale Version des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Vertauschungssatz für stetige partielle Ableitungen.

23. Juni

Keine Vorlesung wegen des Feiertags.

28. Juni

C^k-Funktionen und -Räume, C^unendlich-Funktionen und -Raum. Kreuzprodukt, Divergenz, Laplaceoperator, Rotation. Rechenregeln für Gradient, Divergenz und Rotation. Zweidimensionale Darstellung des Graphen von reellwertigen Funktionen, die auf Teilmengen des R^2 definiert sind, insbesondere die Methode der Niveaumengen und -linien. Bestimmung durch Auflösen von C=f(x,y) nach y, falls möglich. Bestimmung der Niveaulinien mit Hilfe eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen.

30. Juni

Totale Ableitung und Differenzierbarkeit. Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit und die Existenz aller partiellen Ableitungen. Die totale Ableitung reellwertiger Funktionen ist durch den Gradienten gegeben, die totale Ableitung vektorwertiger Funktionen durch die Jacobimatrix. Beispiele: Totale Ableitungen konstanter, linearer und eindimensionaler Funktionen.

5. Juli

Das Bilden der totalen Ableitung ist linear. Die Existenz aller partiellen Ableitungen von f in einer offenen Menge und deren STETIGKEIT in einem Punkt der Menge impliziert die Differenzierbarkeit von f in diesem Punkt. Mehrdimensionale Kettenregel. Differenzierbare Wege. Differenzierbar wegzusammenhängende Mengen.

7. Juli

Differenzierbare Funktionen auf differenzierbar wegzusammenhängenden Mengen mit verschwindendem Gradienten sind konstant. Mehrdimensionaler Mittelwertsatz. Konvexe Mengen. Differenzierbare reellwertige Abbildungen auf konvexen Mengen sind lipschitzstetig sofern alle ihre partiellen Ableitungen beschränkt sind. Richtungsableitungen. Zusammenhang zwischen Richtungsableitungen und partiellen Ableitungen. Differenzierbarkeit impliziert die Existenz aller Richtungsableitungen, welche sich dann als Skalarprodukt aus dem Gradient und der Richtung berechnen lassen. Der lokal größte Anstieg einer differenzierbaren Funktion erfolgt in Richtung des Gradienten.

12. Juli

Beispiel, dass die Existenz aller Richtungsableitungen NICHT die Stetigkeit und schon gar nicht die Differenzierbarkeit impliziert. Globale und lokale Extrema ((strenge) Minima und Maxima). Kompakte Mengen. Kompakte Mengen sind abgeschlossen und beschränkt; abgeschlossene Teilmengen kompakter Mengen sind kompakt. Teilmengen des R^n sind genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind, aber im Allgemeinen gilt dies nicht. Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Kompakte Teilmengen der reellen Zahlen haben ein größtes und ein kleinstes Element. Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen nehmen ihr Maximum und Minimum an. Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig. Inverse Abbildungen injektiver stetiger Abbildungen auf kompakten Mengen sind stetig.

14. Juli

Satz von Taylor für Funktionen auf den reellen Zahlen. Satz von Taylor für Funktionen auf dem R^n. Hilbert-Schmidt-Norm von Matrizen.

19. Juli

Quadratische Formen. Beispiel Hesse-Matrix. Eigenschaften quadratischer Formen: Positiv und negativ definit, positiv und negativ semidefinit, indefinit. Klassifikation in Abhängigkeit der Diskriminante für n=2. Definitheitskriterien. Stationäre Punkte. Lokale Extrema sind stationäre Punkte. Stationäre Punkte müssen keine Extrema sein.

21. Juli

Ist die Hessematrix an einem stationären Punkt positiv (negativ) definit, so hat die Funktion dort ein striktes lokales Minimum (Maximum). Ist die Hessematrix an einem stationären Punkt indefinit, so hat die Funktion dort kein lokales Extremum. Zerlegungen von Intervallen im R^n. Riemannsche Unter-, Ober- und Zwischensumme. Unteres und oberes Riemannintegral. Riemannintegrierbarkeit und Riemannintegral. Das Integral ist linear und monoton. Dreiecksungleichung für Integrale, Mittelwertsatz von Integralen. Integrabilitätskriterium. Stetige Funktionen sind integrierbar. Die Verkettung einer integrierbaren Funktion mit einer lipschitzstetigen Funktion ist integrierbar. Ist f integrierbar, so auch der Betrag, das Quadrat und der positive und negative Anteil von f. Produkte, Maxima und Minima integrierbarer Funktionen sind integrierbar. Quotienten auch, wenn der Nenner von Null weg beschränkt ist. Satz von Fubini.

26. Juli

Transformationsformel. Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung. Geometrische Interpretation gewöhnlicher Differentialgleichung als Richtungsfeld. Lösungsmethode der Trennung der Variablen.

28. Juli

Klausur (9.45 - 11.30 Uhr).
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Last update: Jul 26, 2011 Peter Philip.