Vorlesung: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zeit: Di 14 – 16, Do 10 – 12    Ort: B 138

Übungen: David Müller, Ruth Schulte

Übungsblätter und weitere Informationen

NEWS

• 16.10.17   Die Ergebnisse der Nachklausur sind hier einsehbar. Sie benötigen dazu die selben login-Daten wie für das Skript. Die Klausureinsicht findet statt am Mittwoch, den 18.10.17 von 9 bis 10 Uhr in Raum B 407.
• 22.8.17   Die Nachklausur findet am Mittwoch, den 11.10.17 um 14:15 Uhr in Hörsaal C 123 statt. Die Teilnahme ist nur nach Anmeldung bis 8.10.17 möglich.
• 22.8.17   Die Klausurergebnisse sind hier einsehbar. Sie benötigen dazu die selben login-Daten wie für das Skript. Die Klausureinsicht findet statt am Freitag, den 25.8.17 von 9 bis 10 Uhr in Raum B 407.
• 11.7.17   Die obligatorische Anmeldung zur Klausur wurde freigeschaltet (möglich bis 24.7.17).
• 11.7.17   Die Formulierung des Satzes von Grobman-Hartman ist im Skript im Vergleich zur Vorlesung präzisiert worden.
• 4.5.17   Um das Skript zur Vorlesung aufrufen zu können, geben Sie die in der Vorlesung mitgeteilten login-Daten ein. Hinweis: diese werden nicht per email verschickt.
• 4.5.17   Die in der Vorlesung verwendeten Aussagen über Vektorfelder finden Sie zum Beispiel als Satz 16.6 im Skript zur Analysis III (selbe login-Daten).

Kurzbeschreibung
Die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist ein altes und traditionsreiches Teilgebiet der Mathematik, das bis auf Newton zurückgeht und zahlreiche Anwendungen in anderen quantitativen Wissenschaften besitzt. Geht es dort vornehmlich um das Auffinden von Lösungen, so beschäftigte man sich innermathematisch anfänglich mit Fragen nach der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen oder auch deren Stabilität. Neuere Entwicklungen, beginnend Ende des 19. Jahrhunderts, führten im 20. Jahrhundert zur Theorie dynamischer Systeme, die nach wie vor ein aktuelles Forschungsgebiet der Mathematik darstellt. Liegt in der klassischen Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen der Fokus auf dem Studium einzelner Lösungen, so wendet sich die Theorie dynamischer Systeme den Eigenschaften der Gesamtheit aller möglichen Lösungen einer Differentialgleichung zu. Unter dem Schlagwort Chaostheorie fand ein Teil der Theorie dynamischer Systeme auch große Beachtung in einer breiteren Öffentlichkeit.
Die Vorlesung beschäftigt sich in einem ersten Teil mit Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen der klassischen Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen und behandelt in einem zweiten Teil einführende Themen aus der Theorie dynamischer Systeme.

Voraussetzungen
Analysis I, II, III, Lineare Algebra I, II.

Hörerkreis
Studiengänge B.Sc. Mathematik, B.Sc. Wirtschaftsmathematik.

Literatur

• K. T. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke, Chaos: An Introductions to dynamical systems, Springer, New York, 1996
• H. Amman, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 2. Aufl., de Gruyter, Berlin, 1995
• V. I. Arnold, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 2. Aufl., Springer, Berlin, 2001
• B. Aulbach, Gewöhnliche Differenzialgleichunge, 2. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004
• L. Grüne, O. Junge, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2009
• H. Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 6. Aufl., Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2009
• N. G. Markley, Principles of differential equations, Wiley, Hoboken, NJ, 2004
• S. Sternberg, Dynamical systems, Dover Publications, Mineola, NY, 2010
• G. Teschl, Ordinary differential equations and dynamical systems, American Mathematical Society, Providence, RI, 2012
• W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 7. Aufl., Springer, Berlin, 2000
• G. J. Wirsching, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, Wiesbaden, 2006

Inhalt
1.  Allgemeine Grundlagen
     1.1.  Nomenklatur und Systematik
     1.2.  Elementare Methoden für spezielle Differentialgleichungen
2.   Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
     2.1.  Fixpunktsätze von Brouwer und Schauder
     2.2.  Existenzsatz von Peano
     2.3.  Fortsetzen von Lösungen
     2.4.  Eindeutigkeit
3.  Lineare Differentialgleichungen
4.  Phasenportraits und Flüsse
5.  Stabilität
     5.1.  Stetigkeit und Differenzierbarkeit des Flusses
     5.2.  Anwendung: allgemeine Formel von Liouville und Wiederkehrsatz von Poincaré
     5.3.  Stabilitätstheorie
     5.4.  Lyapunov-Funktionen
     5.5.  Verzweigungen
6.  Ein Blick ins Chaos


(Um zukünftige Aktualisierungen des Skripts verbessern zu können, freue ich mich über Mitteilungen von Druck- und anderen Fehlern)