Mathematisches Seminar: Perkolation

Zeit: Mo 18 – 20     Ort: A 248

Talks can also be given in English!

Kurzbeschreibung

Als Geburtsstunde der mathematischen Perkolationstheorie – kurz: Perkolation – gilt das Jahr 1957, ihre Ursprünge in der physikalischen Literatur reichen jedoch fast 20 Jahre weiter zurück. Es geht um ein einfaches mathematisches Modell, welches einen zufälligen Graphen (Netzwerk) über einer abzählbar unendlichen Knotenmenge beschreibt. Dabei stellt die Kantenwahrscheinlichkeit p ∈ [0,1] für das Vorhandensein einer Kante zwischen 2 Knoten den wesentlichen Modellparameter dar. Der Grund für den Anwendungsreichtum der Perkolation innerhalb der Mathematik, sowie in den Natur- und Sozialwissenschaften ist folgendes Phänomen: für hinreichend kleine p enthält der zufällige Graph fast sicher nur endlich große Zusammenhangskomponenten, sog. Cluster. Ab einer gewissen kritischen Wahrscheinlichkeit p_c ändert sich das Verhalten schlagartig. Für p > p_c existiert zusätzlich ein unendlich großer Cluster, der perkolierende Cluster.
Mathematisch gesehen erwiesen sich manch scheinbar einfache Fragestellungen der Perkolation als überaus tiefliegend und anspruchsvoll. Zum Teil konnten sie erst nach Jahrzehnten beantwortet werden. Und auch heute noch stehen etliche wichtige Vermutungen unbewiesen im Raum.
Das Seminar soll eine Einführung in das aktive und moderne Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie geben.

Hörerkreis

Studierende der (Wirtschafts-) Mathematik oder Physik (Bachelor, Master, Lehramt), TMP-Master

Voraussetzungen

Stochastik, Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Literatur

• G. Grimmett, Percolation, 2. Aufl., Springer, Berlin, 1999
• B. Bollobás, O. Riordan, Percolation, Cambridge University Press, Cambridge, 2006

Weitere Literatur wird ggf. rechtzeitig bekannt gegeben